465. Найдите значение выражения:
а) \[ \frac{2^5 \cdot (2^3)^4}{2^{13}} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \]
Теперь подставим это обратно в выражение:
\[ \frac{2^5 \cdot 2^{12}}{2^{13}} \]
В числителе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 2^5 \cdot 2^{12} = 2^{5+12} = 2^{17} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{2^{17}}{2^{13}} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 2^{17-13} = 2^4 \]
Вычислим значение:
\[ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \]
Ответ: 16
б) \[ \frac{(5^8)^2 \cdot 5^7}{5^{22}} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (5^8)^2 = 5^{8 \cdot 2} = 5^{16} \]
Теперь подставим это обратно в выражение:
\[ \frac{5^{16} \cdot 5^7}{5^{22}} \]
В числителе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 5^{16} \cdot 5^7 = 5^{16+7} = 5^{23} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{5^{23}}{5^{22}} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 5^{23-22} = 5^1 = 5 \]
Ответ: 5
в) \[ \frac{(2^5)^2}{2^6 \cdot 4} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10} \]
Теперь преобразуем число 4 в степень двойки: \(4 = 2^2\).
Подставим это в знаменатель:
\[ 2^6 \cdot 4 = 2^6 \cdot 2^2 \]
В знаменателе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 2^6 \cdot 2^2 = 2^{6+2} = 2^8 \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{2^{10}}{2^8} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 2^{10-8} = 2^2 \]
Вычислим значение:
\[ 2^2 = 4 \]
Ответ: 4
г) \[ \frac{3^7 \cdot 27}{(3^4)^3} \]
Решение:
Сначала преобразуем число 27 в степень тройки: \(27 = 3^3\).
Теперь преобразуем знаменатель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12} \]
Подставим это обратно в выражение:
\[ \frac{3^7 \cdot 3^3}{3^{12}} \]
В числителе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 3^7 \cdot 3^3 = 3^{7+3} = 3^{10} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{3^{10}}{3^{12}} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 3^{10-12} = 3^{-2} \]
Используем свойство степени: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
Ответ: \(\frac{1}{9}\)
д) \[ \frac{(5^2)^4 \cdot 25}{5^9} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8 \]
Теперь преобразуем число 25 в степень пятерки: \(25 = 5^2\).
Подставим это обратно в числитель:
\[ 5^8 \cdot 25 = 5^8 \cdot 5^2 \]
В числителе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 5^8 \cdot 5^2 = 5^{8+2} = 5^{10} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{5^{10}}{5^9} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 5^{10-9} = 5^1 = 5 \]
Ответ: 5
е) \[ \frac{(7^3)^3 \cdot 7^2}{(7^5)^2} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (7^3)^3 = 7^{3 \cdot 3} = 7^9 \]
Теперь числитель выглядит так:
\[ 7^9 \cdot 7^2 \]
Используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 7^9 \cdot 7^2 = 7^{9+2} = 7^{11} \]
Теперь упростим знаменатель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (7^5)^2 = 7^{5 \cdot 2} = 7^{10} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{7^{11}}{7^{10}} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 7^{11-10} = 7^1 = 7 \]
Ответ: 7
ж) \[ \frac{3^{11} \cdot 27}{(3^4)^3 \cdot 9} \]
Решение:
Сначала преобразуем все числа в степени тройки: \(27 = 3^3\), \(9 = 3^2\).
Теперь упростим знаменатель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (3^4)^3 = 3^{4 \cdot 3} = 3^{12} \]
Подставим это обратно в выражение:
\[ \frac{3^{11} \cdot 3^3}{3^{12} \cdot 3^2} \]
В числителе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14} \]
В знаменателе используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 3^{12} \cdot 3^2 = 3^{12+2} = 3^{14} \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{3^{14}}{3^{14}} \]
Любое число, деленное на само себя (кроме нуля), равно 1.
\[ \frac{3^{14}}{3^{14}} = 1 \]
Ответ: 1
з) \[ \frac{(11^2)^3}{11^2 \cdot 11^3} \]
Решение:
Сначала упростим числитель. Используем свойство степени: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
\[ (11^2)^3 = 11^{2 \cdot 3} = 11^6 \]
Теперь упростим знаменатель. Используем свойство степени: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
\[ 11^2 \cdot 11^3 = 11^{2+3} = 11^5 \]
Теперь выражение выглядит так:
\[ \frac{11^6}{11^5} \]
Используем свойство степени: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\[ 11^{6-5} = 11^1 = 11 \]
Ответ: 11