Задача: Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Данный многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан другой прямоугольный параллелепипед. Или же можно разбить его на отдельные грани и найти площадь каждой грани.
Давайте рассмотрим многогранник и определим размеры его частей.
Из рисунка видно, что:
- Длина верхней части (и общая длина) = 5
- Высота левой части = 3
- Ширина нижней части (и общая ширина) = 2
- Высота правой части = 2
- Ширина верхней части = 1
Для удобства, представим, что мы "достраиваем" многогранник до полного прямоугольного параллелепипеда, а затем вычитаем площадь "внутренних" поверхностей, которые появились бы при таком достраивании, и добавляем площади "внутренних" поверхностей, которые образовались при вырезании.
Или, что проще, найдём площади всех видимых граней.
Разобьём поверхности на части:
1. Передняя и задняя грани (L-образные):
Площадь одной такой грани можно найти как площадь большого прямоугольника минус площадь вырезанного прямоугольника.
Размеры большого прямоугольника: длина = 5, высота = 3.
Размеры вырезанного прямоугольника: длина = (5 - 2) = 3, высота = (3 - 2) = 1.
Площадь одной L-образной грани: \(S_{L} = (5 \cdot 3) - ((5-2) \cdot (3-2)) = 15 - (3 \cdot 1) = 15 - 3 = 12\).
Так как таких граней две (передняя и задняя), их общая площадь: \(2 \cdot S_{L} = 2 \cdot 12 = 24\).
2. Верхние грани:
Есть две верхние грани:
- Одна сверху слева: длина = 5, ширина = 1. Площадь: \(S_{верх1} = 5 \cdot 1 = 5\).
- Другая сверху справа: длина = (5 - 2) = 3, ширина = 2. Площадь: \(S_{верх2} = (5-2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6\).
Общая площадь верхних граней: \(5 + 6 = 11\).
3. Нижняя грань:
Длина = 5, ширина = 2. Площадь: \(S_{низ} = 5 \cdot 2 = 10\).
4. Боковые грани:
- Левая боковая грань: высота = 3, ширина = 2. Площадь: \(S_{левая} = 3 \cdot 2 = 6\).
- Правая боковая грань: высота = 2, ширина = 2. Площадь: \(S_{правая} = 2 \cdot 2 = 4\).
5. Внутренние грани (которые образовались при "вырезании"):
- Вертикальная внутренняя грань: высота = (3 - 2) = 1, ширина = 2. Площадь: \(S_{внутр.верт} = 1 \cdot 2 = 2\).
- Горизонтальная внутренняя грань: длина = (5 - 2) = 3, ширина = 1. Площадь: \(S_{внутр.гориз} = 3 \cdot 1 = 3\).
Теперь сложим площади всех граней:
Общая площадь поверхности \(S_{общ} = (\text{площадь передней и задней}) + (\text{площадь верхних}) + (\text{площадь нижней}) + (\text{площадь боковых}) + (\text{площадь внутренних})\).
\(S_{общ} = 24 + 11 + 10 + (6 + 4) + (2 + 3)\)
\(S_{общ} = 24 + 11 + 10 + 10 + 5\)
\(S_{общ} = 60\)
Альтернативный способ (метод дополнения):
Представим, что мы "достроили" многогранник до полного прямоугольного параллелепипеда с размерами 5 x 3 x 2.
Площадь поверхности такого параллелепипеда: \(S_{полный} = 2 \cdot (5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (15 + 10 + 6) = 2 \cdot 31 = 62\).
При "достраивании" мы закрыли две внутренние поверхности, которые теперь стали внешними, и убрали две внешние поверхности, которые стали внутренними. Однако, если внимательно посмотреть, то площадь "внутренних" поверхностей, которые образовались при вырезании, равна площади тех поверхностей, которые были бы на месте выреза, если бы его не было.
Рассмотрим проекции многогранника на плоскости:
- Проекция на плоскость XY (вид сверху): это прямоугольник 5x2. Площадь: \(5 \cdot 2 = 10\).
- Проекция на плоскость XZ (вид спереди): это L-образная фигура. Площадь: \(12\).
- Проекция на плоскость YZ (вид сбоку): это прямоугольник 3x2. Площадь: \(3 \cdot 2 = 6\).
Сумма площадей проекций: \(10 + 12 + 6 = 28\).
Площадь поверхности многогранника равна удвоенной сумме площадей его проекций на координатные плоскости, если многогранник является выпуклым. Но наш многогранник не выпуклый.
Однако, есть свойство: площадь поверхности любого многогранника, все двугранные углы которого прямые, равна удвоенной сумме площадей его проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости.
Давайте проверим это свойство для нашего случая.
- Площадь проекции на плоскость, перпендикулярную оси X (вид спереди/сзади): это L-образная фигура. Площадь \(S_{L} = 12\).
- Площадь проекции на плоскость, перпендикулярную оси Y (вид сверху/снизу): это прямоугольник 5x2. Площадь \(S_{XY} = 5 \cdot 2 = 10\).
- Площадь проекции на плоскость, перпендикулярную оси Z (вид сбоку): это прямоугольник 3x2. Площадь \(S_{YZ} = 3 \cdot 2 = 6\).
Сумма площадей проекций: \(12 + 10 + 6 = 28\).
Удвоенная сумма: \(2 \cdot 28 = 56\).
Почему же получилось 56, а не 60? Это свойство применимо к выпуклым многогранникам. В нашем случае есть "внутренние" поверхности, которые не учитываются при проекции.
Вернёмся к первому, более надёжному способу, где мы посчитали каждую грань.
Площадь передней грани: \(5 \cdot 3 - (5-2) \cdot (3-2) = 15 - 3 \cdot 1 = 15 - 3 = 12\).
Площадь задней грани: \(12\).
Сумма передней и задней: \(12 + 12 = 24\).
Площадь нижней грани: \(5 \cdot 2 = 10\).
Площадь верхней грани (состоит из двух частей):
- Часть 1: \(5 \cdot 1 = 5\).
- Часть 2: \((5-2) \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6\).
Сумма верхних граней: \(5 + 6 = 11\).
Площадь левой боковой грани: \(3 \cdot 2 = 6\).
Площадь правой боковой грани: \(2 \cdot 2 = 4\).
Площадь внутренней вертикальной грани: \((3-2) \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2\).
Площадь внутренней горизонтальной грани: \((5-2) \cdot 1 = 3 \cdot 1 = 3\).
Складываем все площади:
\(S_{общ} = 24 + 10 + 11 + 6 + 4 + 2 + 3 = 60\).
Ответ: 60.