Вычисление 1/∐(7&x)136 с точностью 0.001 через степенной ряд

Задание 10. Вычислить \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \) приближенно с степенью точности \( \alpha=0,001 \), воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции. Решение: 1. Представим выражение в виде, удобном для разложения в степенной ряд. \[ \frac{1}{\sqrt[7]{136}} = (136)^{-\frac{1}{7}} \] Мы знаем, что \( 2^7 = 128 \). Это число близко к 136. Поэтому удобно представить 136 как \( 128 + 8 \). \[ (136)^{-\frac{1}{7}} = (128 + 8)^{-\frac{1}{7}} = (128(1 + \frac{8}{128}))^{-\frac{1}{7}} = (128)^{-\frac{1}{7}} (1 + \frac{1}{16})^{-\frac{1}{7}} \] Так как \( 128 = 2^7 \), то \( (128)^{-\frac{1}{7}} = (2^7)^{-\frac{1}{7}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \). Таким образом, \[ \frac{1}{\sqrt[7]{136}} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{7}} \] 2. Воспользуемся биномиальным рядом для функции \( (1+x)^\alpha \), который имеет вид: \[ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots \] В нашем случае \( x = \frac{1}{16} \) и \( \alpha = -\frac{1}{7} \). Подставим эти значения: \[ \left(1 + \frac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{7}} = 1 + \left(-\frac{1}{7}\right) \left(\frac{1}{16}\right) + \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{1}{7}-1\right)}{2!} \left(\frac{1}{16}\right)^2 + \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{1}{7}-1\right)\left(-\frac{1}{7}-2\right)}{3!} \left(\frac{1}{16}\right)^3 + \dots \] Вычислим первые несколько членов ряда: Первый член: \( 1 \) Второй член: \[ a_1 = \left(-\frac{1}{7}\right) \left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{112} \approx -0.008928 \] Третий член: \[ a_2 = \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{8}{7}\right)}{2} \left(\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{\frac{8}{49}}{2} \cdot \frac{1}{256} = \frac{4}{49} \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{49 \cdot 64} = \frac{1}{3136} \approx 0.000318 \] Четвертый член: \[ a_3 = \frac{\left(-\frac{1}{7}\right)\left(-\frac{8}{7}\right)\left(-\frac{15}{7}\right)}{6} \left(\frac{1}{16}\right)^3 = \frac{-\frac{120}{343}}{6} \cdot \frac{1}{4096} = -\frac{20}{343} \cdot \frac{1}{4096} = -\frac{5}{343 \cdot 1024} = -\frac{5}{350208} \approx -0.000014 \] 3. Определим, сколько членов ряда необходимо взять для достижения заданной точности \( \alpha=0,001 \). Так как это знакочередующийся ряд (после первого члена), то по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов, абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена. Мы ищем \( |a_k| < 0.001 \). \( |a_1| = \left|-\frac{1}{112}\right| \approx 0.008928 \). Это больше 0.001. \( |a_2| = \left|\frac{1}{3136}\right| \approx 0.000318 \). Это меньше 0.001. Значит, для достижения точности 0.001 достаточно взять члены до \( a_1 \) включительно, то есть \( 1 + a_1 \). Тогда \( \left(1 + \frac{1}{16}\right)^{-\frac{1}{7}} \approx 1 + a_1 = 1 - \frac{1}{112} \). Вычислим \( 1 - \frac{1}{112} \): \( 1 - \frac{1}{112} = \frac{112 - 1}{112} = \frac{111}{112} \approx 0.991071 \) Теперь умножим на \( \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{111}{112} = \frac{111}{224} \] Вычислим десятичное значение: \[ \frac{111}{224} \approx 0.4955357 \] Проверим, если бы мы взяли до \( a_2 \): \( 1 + a_1 + a_2 = 1 - \frac{1}{112} + \frac{1}{3136} = \frac{3136 - 28 + 1}{3136} = \frac{3109}{3136} \approx 0.991390 \) Тогда \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3109}{3136} = \frac{3109}{6272} \approx 0.495709 \). Разница между \( 0.495709 \) и \( 0.4955357 \) составляет \( 0.0001733 \), что меньше 0.001. Значит, достаточно взять два члена ряда \( 1 + a_1 \). Окончательный расчет: \[ \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \approx \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{112}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{111}{112}\right) = \frac{111}{224} \] \[ \frac{111}{224} \approx 0.4955 \] Округляем до трех знаков после запятой, так как точность \( \alpha=0,001 \). \( 0.4955 \approx 0.496 \) Ответ: \( \frac{1}{\sqrt[7]{136}} \approx 0.496 \).