Задача 1
Два свинцовых шара массами \(m_1 = 100\) г и \(m_2 = 200\) г движутся навстречу друг другу со скоростями \(v_1 = 4\) м/с и \(v_2 = 5\) м/с. Какую кинетическую энергию будут иметь шары после их абсолютно неупругого соударения?
Решение:
Сначала переведем массы в килограммы:
\[m_1 = 100 \text{ г} = 0,1 \text{ кг}\] \[m_2 = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}\]При абсолютно неупругом соударении шары слипаются и движутся как единое целое. Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса.
Пусть направление движения первого шара будет положительным. Тогда скорость второго шара будет отрицательной, так как он движется навстречу.
Закон сохранения импульса до и после соударения:
\[m_1 v_1 + m_2 (-v_2) = (m_1 + m_2) v\]где \(v\) — скорость объединенной массы после соударения.
Подставим значения:
\[0,1 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} + 0,2 \text{ кг} \cdot (-5 \text{ м/с}) = (0,1 \text{ кг} + 0,2 \text{ кг}) v\] \[0,4 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 1,0 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 0,3 \text{ кг} \cdot v\] \[-0,6 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 0,3 \text{ кг} \cdot v\]Найдем скорость \(v\):
\[v = \frac{-0,6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,3 \text{ кг}} = -2 \text{ м/с}\]Отрицательный знак означает, что объединенные шары после соударения будут двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению первого шара (то есть в направлении движения второго шара).
Теперь найдем кинетическую энергию объединенных шаров после соударения. Формула кинетической энергии:
\[E_k = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}\]Подставим значения:
\[E_k = \frac{(0,1 \text{ кг} + 0,2 \text{ кг}) \cdot (-2 \text{ м/с})^2}{2}\] \[E_k = \frac{0,3 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м}^2/\text{с}^2}{2}\] \[E_k = \frac{1,2 \text{ Дж}}{2}\] \[E_k = 0,6 \text{ Дж}\]Ответ:
Кинетическая энергия шаров после их абсолютно неупругого соударения составит \(0,6\) Дж.
Задача 2
При вертикальном броске телу сообщили кинетическую энергию \(50\) Дж. Чему равна масса этого тела, если максимальная высота его подъёма равна \(10\) м? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
В этой задаче используется закон сохранения энергии. В начальный момент (бросок) тело обладает только кинетической энергией. В верхней точке подъема (максимальная высота) скорость тела становится равной нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию.
Начальная кинетическая энергия: \(E_k = 50\) Дж.
Максимальная высота подъема: \(h = 10\) м.
Ускорение свободного падения: \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (или \(10\) м/с\(^2\) для упрощения расчетов, если не указано иное. Будем использовать \(9,8\) м/с\(^2\)).
По закону сохранения энергии:
\[E_k = E_p\]где \(E_p\) — потенциальная энергия в верхней точке.
Формула потенциальной энергии:
\[E_p = mgh\]Приравниваем кинетическую и потенциальную энергии:
\[50 \text{ Дж} = m \cdot g \cdot h\]Подставим известные значения:
\[50 \text{ Дж} = m \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ м}\] \[50 \text{ Дж} = m \cdot 98 \text{ м}^2/\text{с}^2\]Найдем массу \(m\):
\[m = \frac{50 \text{ Дж}}{98 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[m \approx 0,5102 \text{ кг}\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[m \approx 0,51 \text{ кг}\]Ответ:
Масса этого тела равна примерно \(0,51\) кг.
Задача 3
Шары массами \(6\) кг и \(4\) кг, движущиеся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, соударяются, после чего движутся как единое целое. При соударении выделилось \(19,2\) Дж энергии. Определите, с какой по модулю скоростью двигались шары до соударения.
Решение:
Дано:
Масса первого шара: \(m_1 = 6\) кг.
Масса второго шара: \(m_2 = 4\) кг.
Выделившаяся энергия (потеря кинетической энергии): \(\Delta E = 19,2\) Дж.
Шары движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. Пусть эта скорость будет \(v\).
После соударения шары движутся как единое целое (абсолютно неупругое соударение).
Сначала используем закон сохранения импульса. Пусть направление движения первого шара будет положительным. Тогда скорость второго шара будет отрицательной.
\[m_1 v + m_2 (-v) = (m_1 + m_2) v'\]где \(v'\) — скорость объединенной массы после соударения.
\[6 \text{ кг} \cdot v + 4 \text{ кг} \cdot (-v) = (6 \text{ кг} + 4 \text{ кг}) v'\] \[6v - 4v = 10v'\] \[2v = 10v'\] \[v' = \frac{2v}{10} = 0,2v\]Теперь рассмотрим изменение энергии. Выделившаяся энергия \(\Delta E\) — это разница между начальной кинетической энергией шаров и конечной кинетической энергией объединенной массы.
Начальная кинетическая энергия:
\[E_{k, \text{нач}} = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}\] \[E_{k, \text{нач}} = \frac{(6 \text{ кг} + 4 \text{ кг}) v^2}{2} = \frac{10 \text{ кг} \cdot v^2}{2} = 5v^2\]Конечная кинетическая энергия:
\[E_{k, \text{кон}} = \frac{(m_1 + m_2) (v')^2}{2}\]Подставим \(v' = 0,2v\):
\[E_{k, \text{кон}} = \frac{(6 \text{ кг} + 4 \text{ кг}) (0,2v)^2}{2} = \frac{10 \text{ кг} \cdot (0,04v^2)}{2} = \frac{0,4v^2}{2} = 0,2v^2\]Выделившаяся энергия \(\Delta E\) равна разности начальной и конечной кинетических энергий:
\[\Delta E = E_{k, \text{нач}} - E_{k, \text{кон}}\] \[19,2 \text{ Дж} = 5v^2 - 0,2v^2\] \[19,2 \text{ Дж} = 4,8v^2\]Найдем \(v^2\):
\[v^2 = \frac{19,2 \text{ Дж}}{4,8}\] \[v^2 = 4 \text{ м}^2/\text{с}^2\]Найдем \(v\):
\[v = \sqrt{4 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v = 2 \text{ м/с}\]Ответ:
Шары двигались до соударения со скоростью \(2\) м/с.