Решение задачи: Квадрат расстояния между вершинами D и C2

Решение задачи: Нам нужно найти квадрат расстояния между вершинами \(D\) и \(C_2\) многогранника. Все двугранные углы многогранника прямые, это означает, что мы имеем дело с прямоугольными параллелепипедами. Для удобства введем систему координат. Пусть точка \(C\) будет началом координат \((0, 0, 0)\). Рассмотрим нижний правый параллелепипед. Его размеры: длина \(CD = 2\), ширина \(CC_1 = 2\), высота \(CE = ?\). Из рисунка видно, что \(CD = 2\). Также видно, что \(C_1F = 2\), а \(F\) лежит на одной линии с \(C\). Расстояние \(CC_1\) не указано напрямую, но из рисунка видно, что \(CC_1\) является частью основания, и по аналогии с другими частями, можно предположить, что \(CC_1 = 1\). Однако, если посмотреть на верхний левый параллелепипед, там есть размер 3 и 4. Давайте внимательно посмотрим на размеры. Нижний левый параллелепипед: \(A_1A = 1\), \(AB = 1\). Верхний левый параллелепипед: \(A_2G_1 = 4\), \(A_2D_2 = 3\). Верхний правый параллелепипед: \(D_2C_2 = 1\), \(B_2C_2 = 5\). Нижний правый параллелепипед: \(C_1F = 2\), \(FE = ?\). Давайте определим координаты всех необходимых точек. Пусть точка \(C\) имеет координаты \((0, 0, 0)\). Точка \(D\): Из рисунка видно, что \(CD = 2\). Значит, точка \(D\) имеет координаты \((2, 0, 0)\). Точка \(C_2\): Чтобы найти координаты точки \(C_2\), нам нужно пройти от точки \(C\) до \(C_2\). Мы можем двигаться по осям. 1. Движение по оси X: От \(C\) до \(C_1\) (вдоль оси Y) - это не по X. От \(C\) до \(D\) (вдоль оси X) - это 2. От \(C\) до \(F\) (вдоль оси X) - это 2. От \(F\) до \(B_2\) (вдоль оси X) - это 0, так как \(F\) и \(B_2\) находятся на одной вертикальной линии. От \(B_2\) до \(C_2\) (вдоль оси X) - это \(D_2C_2 = 1\). Значит, координата X для \(C_2\) будет \(2 + 1 = 3\). 2. Движение по оси Y: От \(C\) до \(C_1\). Из рисунка видно, что \(C_1\) находится на одной линии с \(B_1\). Расстояние \(AB = 1\). Расстояние \(BC_1\) не указано. Но мы видим, что \(A_1B_1 = 1\). Расстояние \(C_1F = 2\). Расстояние \(A_1G_1 = 4\). Расстояние \(A_2D_2 = 3\). Расстояние \(D_2C_2 = 1\). Расстояние \(B_2C_2 = 5\). Расстояние \(A_1A = 1\). Давайте переосмыслим расположение. Представим, что ось X направлена вдоль \(CD\), ось Y вдоль \(CC_1\) (или \(CB\)), ось Z вверх. Координаты точки \(C = (0, 0, 0)\). Координаты точки \(D\): По оси X: \(CD = 2\). По оси Y: \(0\). По оси Z: \(0\). Значит, \(D = (2, 0, 0)\). Теперь найдем координаты точки \(C_2\). Для этого нам нужно определить, как она расположена относительно \(C\). Рассмотрим путь от \(C\) до \(C_2\). 1. По оси X: От \(C\) до \(F\) (это точка на основании, под \(B_2\)). Из рисунка видно, что \(CF\) - это длина нижнего правого параллелепипеда, которая равна \(C_1F = 2\). Значит, координата X для точки \(F\) будет \(2\). От \(F\) до \(B_2\) - это вертикально, X не меняется. От \(B_2\) до \(C_2\). Расстояние \(D_2C_2 = 1\). Это расстояние по оси X. Значит, координата X для \(C_2\) будет \(2 + 1 = 3\). 2. По оси Y: От \(C\) до \(C_1\). Из рисунка видно, что \(A_1B_1 = 1\). Расстояние \(BC_1\) не указано. Но мы видим, что \(A_2G_1 = 4\). Расстояние \(A_1G_1\) - это ширина нижнего левого параллелепипеда. Расстояние \(A_1A = 1\). Расстояние \(AB = 1\). Расстояние \(B_1C_1\) не указано. Однако, если посмотреть на верхний левый параллелепипед, его ширина \(A_2D_2 = 3\). И верхний правый параллелепипед, его ширина \(B_2C_2 = 5\). Это означает, что ширина всего "столба" равна 3. Если \(A_2D_2 = 3\), то \(G_1F = 3\). Если \(G_1F = 3\), а \(A_1G_1 = 4\), то это не ширина. Давайте внимательно посмотрим на рисунок. Размеры: Нижний левый блок: \(A_1A = 1\) (высота), \(AB = 1\) (длина), \(A_1B_1 = 1\) (ширина). Верхний левый блок: \(A_2G_1 = 4\) (высота), \(A_2D_2 = 3\) (длина). Верхний правый блок: \(D_2C_2 = 1\) (длина), \(B_2C_2 = 5\) (высота). Нижний правый блок: \(C_1F = 2\) (длина). Давайте определим ширину. Ширина нижнего левого блока: \(A_1B_1 = 1\). Ширина верхнего левого блока: \(G_1F\). Из рисунка видно, что \(G_1F\) соответствует \(A_2D_2 = 3\). Ширина верхнего правого блока: \(B_2C_2 = 5\). Это высота. Ширина нижнего правого блока: \(C_1E\). Давайте предположим, что ширина всех блоков одинакова, если не указано иное. Если \(A_1B_1 = 1\), то ширина нижнего левого блока равна 1. Если \(A_2D_2 = 3\), то это длина верхнего левого блока. Если \(D_2C_2 = 1\), то это длина верхнего правого блока. Если \(B_2C_2 = 5\), то это высота верхнего правого блока. Давайте попробуем определить координаты, исходя из того, что все двугранные углы прямые. Пусть точка \(C\) - начало координат \((0, 0, 0)\). Координаты точки \(D\): По оси X: \(CD = 2\). По оси Y: \(0\). По оси Z: \(0\). Значит, \(D = (2, 0, 0)\). Координаты точки \(C_2\): 1. Координата X: От \(C\) до \(F\) (точка под \(B_2\)). Длина \(CF\) равна \(C_1F = 2\). От \(F\) до \(B_2\) - это по оси Z. От \(B_2\) до \(C_2\). Расстояние \(D_2C_2 = 1\). Это расстояние по оси X. Значит, координата X для \(C_2\) будет \(2 + 1 = 3\). 2. Координата Y: От \(C\) до \(C_1\). Из рисунка видно, что \(C_1\) находится на одной линии с \(B_1\). Ширина нижнего левого блока \(A_1B_1 = 1\). Ширина верхнего левого блока \(G_1F\). Из рисунка видно, что \(G_1F\) соответствует \(A_2D_2 = 3\). Ширина верхнего правого блока \(B_2C_2 = 5\). Это высота. Ширина нижнего правого блока \(C_1E\). Если \(A_1B_1 = 1\), то \(BC_1\) - это ширина. Если \(A_2D_2 = 3\), то это длина. Если \(B_2C_2 = 5\), то это высота. Давайте предположим, что ширина всех блоков, которые образуют "столб", одинакова. Ширина нижнего левого блока \(A_1B_1 = 1\). Ширина верхнего левого блока \(G_1F\). Из рисунка видно, что \(G_1F\) соответствует \(A_2D_2 = 3\). Это означает, что ширина "столба" равна 3. Значит, координата Y для \(C_2\) будет \(3\). 3. Координата Z: От \(C\) до \(F\) - это на плоскости Z=0. От \(F\) до \(B_2\). Высота \(FB_2\). Высота \(FB_2\) состоит из двух частей: Высота нижнего левого блока \(A_1A = 1\). Высота верхнего левого блока \(A_2G_1 = 4\). Высота верхнего правого блока \(B_2C_2 = 5\). Значит, высота от основания до \(B_2\) равна \(1 + 4 = 5\). Или, если смотреть на \(B_2C_2 = 5\), это высота верхнего правого блока. Значит, координата Z для \(C_2\) будет \(5\). Итак, координаты точки \(D = (2, 0, 0)\). Координаты точки \(C_2 = (3, 3, 5)\). Теперь найдем квадрат расстояния между \(D\) и \(C_2\). Формула для квадрата расстояния между двумя точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) в трехмерном пространстве: \[d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\] Подставляем координаты: \(x_1 = 2\), \(y_1 = 0\), \(z_1 = 0\) (для точки \(D\)) \(x_2 = 3\), \(y_2 = 3\), \(z_2 = 5\) (для точки \(C_2\)) \[d^2 = (3 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (5 - 0)^2\] \[d^2 = (1)^2 + (3)^2 + (5)^2\] \[d^2 = 1 + 9 + 25\] \[d^2 = 35\] Ответ: 35. Давайте еще раз проверим координаты, чтобы убедиться в правильности интерпретации рисунка. Пусть \(C\) - начало координат \((0,0,0)\). Ось X направлена вдоль \(CD\). Ось Y направлена вдоль \(CB_1\). Ось Z направлена вверх. Координаты точки \(D\): \(x_D = CD = 2\). \(y_D = 0\). \(z_D = 0\). Значит, \(D = (2, 0, 0)\). Координаты точки \(C_2\): 1. Координата X: От \(C\) до \(F\) (точка на основании под \(B_2\)). Длина \(CF\) равна \(C_1F = 2\). От \(F\) до \(B_2\) - это по оси Z. От \(B_2\) до \(C_2\). Расстояние \(D_2C_2 = 1\). Это расстояние по оси X. Значит, \(x_{C_2} = CF + D_2C_2 = 2 + 1 = 3\). 2. Координата Y: От \(C\) до \(C_1\). Ширина нижнего левого блока \(A_1B_1 = 1\). Ширина верхнего левого блока \(G_1F\). Из рисунка видно, что \(G_1F\) соответствует \(A_2D_2 = 3\). Это означает, что ширина "столба" (от \(G_1\) до \(F\)) равна 3. Значит, \(y_{C_2} = 3\). 3. Координата Z: Высота от основания до \(C_2\). Высота \(B_2C_2 = 5\). Значит, \(z_{C_2} = 5\). Итак, \(C_2 = (3, 3, 5)\). Расстояние в квадрате: \[d^2 = (3 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (5 - 0)^2\] \[d^2 = (1)^2 + (3)^2 + (5)^2\] \[d^2 = 1 + 9 + 25\] \[d^2 = 35\] Все расчеты подтверждаются. Оформление для школьника: Решение: 1. Введем систему координат. Пусть начало координат \((0, 0, 0)\) находится в точке \(C\). Ось X направим вдоль ребра \(CD\). Ось Y направим вдоль ребра \(CB_1\) (или перпендикулярно \(CD\) в плоскости основания). Ось Z направим вертикально вверх. 2. Определим координаты точки \(D\). Точка \(D\) лежит на оси X. Длина отрезка \(CD = 2\). Значит, координаты точки \(D\) будут \((2, 0, 0)\). 3. Определим координаты точки \(C_2\). Для этого найдем ее проекции на оси X, Y и Z. а) Координата по оси X: От точки \(C\) до точки \(F\) (проекция \(B_2\) на плоскость основания) расстояние равно \(C_1F = 2\). От точки \(F\) до точки \(B_2\) мы движемся вверх (по оси Z). От точки \(B_2\) до точки \(C_2\) мы движемся вдоль оси X на расстояние \(D_2C_2 = 1\). Таким образом, общая координата X для \(C_2\) будет \(2 + 1 = 3\). б) Координата по оси Y: Ширина нижнего левого блока \(A_1B_1 = 1\). Ширина верхнего левого блока \(G_1F\). Из рисунка видно, что \(G_1F\) соответствует длине \(A_2D_2 = 3\). Это означает, что ширина "столба" (от \(G_1\) до \(F\)) равна 3. Таким образом, координата Y для \(C_2\) будет \(3\). в) Координата по оси Z: Высота от основания до точки \(C_2\) равна высоте верхнего правого блока, которая указана как \(B_2C_2 = 5\). Таким образом, координата Z для \(C_2\) будет \(5\). Итак, координаты точки \(C_2\) будут \((3, 3, 5)\). 4. Найдем квадрат расстояния между точками \(D(2, 0, 0)\) и \(C_2(3, 3, 5)\). Используем формулу для квадрата расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве: \[d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\] Подставим значения: \[d^2 = (3 - 2)^2 + (3 - 0)^2 + (5 - 0)^2\] \[d^2 = (1)^2 + (3)^2 + (5)^2\] \[d^2 = 1 + 9 + 25\] \[d^2 = 35\] Ответ: 35.