Задача 3
Условие: Диагональ куба равна \(\sqrt{588}\). Найдите его объем.
Решение:
Пусть \(a\) - длина ребра куба.
Диагональ грани куба (обозначим её \(d_г\)) находится по теореме Пифагора:
\[d_г^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\] \[d_г = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\]Диагональ куба (обозначим её \(D\)) находится по теореме Пифагора, используя диагональ грани и ребро куба:
\[D^2 = d_г^2 + a^2\] \[D^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2\] \[D^2 = 2a^2 + a^2\] \[D^2 = 3a^2\] \[D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\]По условию задачи, диагональ куба равна \(\sqrt{588}\). Значит:
\[a\sqrt{3} = \sqrt{588}\]Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[(a\sqrt{3})^2 = (\sqrt{588})^2\] \[3a^2 = 588\]Найдем \(a^2\):
\[a^2 = \frac{588}{3}\] \[a^2 = 196\]Найдем \(a\):
\[a = \sqrt{196}\] \[a = 14\]Объем куба \(V\) вычисляется по формуле:
\[V = a^3\] \[V = 14^3\] \[V = 14 \cdot 14 \cdot 14\] \[V = 196 \cdot 14\] \[V = 2744\]Ответ: 2744
Задача 4
Условие: Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Данный многогранник можно разделить на два прямоугольных параллелепипеда.
Первый (нижний) параллелепипед:
Его измерения: длина = 6, ширина = 4, высота = 6.
Объем первого параллелепипеда \(V_1\) равен:
\[V_1 = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}\] \[V_1 = 6 \cdot 4 \cdot 6\] \[V_1 = 24 \cdot 6\] \[V_1 = 144\]Второй (верхний) параллелепипед:
Его измерения: длина = 5, ширина = 3, высота = 3.
Объем второго параллелепипеда \(V_2\) равен:
\[V_2 = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}\] \[V_2 = 5 \cdot 3 \cdot 3\] \[V_2 = 15 \cdot 3\] \[V_2 = 45\]Общий объем многогранника:
Общий объем \(V\) равен сумме объемов первого и второго параллелепипедов:
\[V = V_1 + V_2\] \[V = 144 + 45\] \[V = 189\]Ответ: 189