Задача 14. На рисунке представлены графики зависимости проекции скорости от времени для трех тел, движущихся вдоль оси Ox. Используя данные графиков, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Запишите в ответе их номера.
Утверждения:
1) В начальный момент времени все три тела имели одинаковую скорость.
2) Тело (1) движется с наибольшим по модулю ускорением.
3) Тело (3) с начала наблюдения движется в отрицательном направлении оси Ox.
4) Уравнение зависимости проекции скорости от времени для тела (1) имеет вид: \(v_x = 30 + t\) (единицы СИ).
5) В течение первых 20 с тело (1) пройдет максимальный путь.
Решение:
Проанализируем каждое утверждение, используя графики \(v_x(t)\).
1) В начальный момент времени все три тела имели одинаковую скорость.
- Начальный момент времени соответствует \(t = 0\).
- Для тела (1): \(v_x(0) = 15 \text{ м/с}\).
- Для тела (2): \(v_x(0) = 15 \text{ м/с}\).
- Для тела (3): \(v_x(0) = 15 \text{ м/с}\).
Все три тела в начальный момент времени имели скорость \(15 \text{ м/с}\). Это утверждение верно.
2) Тело (1) движется с наибольшим по модулю ускорением.
- Ускорение \(a_x\) равно тангенсу угла наклона графика \(v_x(t)\) к оси времени. Чем круче график, тем больше модуль ускорения.
- Для тела (1): \(v_x(0) = 15 \text{ м/с}\), \(v_x(30) = 30 \text{ м/с}\). \[ a_1 = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{30 - 15}{30 - 0} = \frac{15}{30} = 0.5 \text{ м/с}^2 \]
- Для тела (2): \(v_x(t) = 15 \text{ м/с}\) (скорость постоянна). \[ a_2 = 0 \text{ м/с}^2 \]
- Для тела (3): \(v_x(0) = 15 \text{ м/с}\), \(v_x(30) = 0 \text{ м/с}\). \[ a_3 = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{0 - 15}{30 - 0} = \frac{-15}{30} = -0.5 \text{ м/с}^2 \]
Модули ускорений: \(|a_1| = 0.5 \text{ м/с}^2\), \(|a_2| = 0 \text{ м/с}^2\), \(|a_3| = 0.5 \text{ м/с}^2\). Тела (1) и (3) движутся с одинаковым по модулю ускорением, которое является наибольшим. Утверждение, что только тело (1) движется с наибольшим по модулю ускорением, неверно.
3) Тело (3) с начала наблюдения движется в отрицательном направлении оси Ox.
- Направление движения определяется знаком проекции скорости \(v_x\).
- Для тела (3) с \(t=0\) до \(t=30 \text{ с}\) проекция скорости \(v_x\) положительна (от \(15 \text{ м/с}\) до \(0 \text{ м/с}\)).
- Только после \(t=30 \text{ с}\) скорость становится отрицательной.
С начала наблюдения (от \(t=0\)) до \(t=30 \text{ с}\) тело (3) движется в положительном направлении оси Ox. Это утверждение неверно.
4) Уравнение зависимости проекции скорости от времени для тела (1) имеет вид: \(v_x = 30 + t\) (единицы СИ).
- Общий вид уравнения скорости при равноускоренном движении: \(v_x = v_{0x} + a_x t\).
- Для тела (1): \(v_{0x} = 15 \text{ м/с}\), \(a_x = 0.5 \text{ м/с}^2\).
- Следовательно, уравнение для тела (1) имеет вид: \(v_x = 15 + 0.5t\).
Предложенное уравнение \(v_x = 30 + t\) неверно.
5) В течение первых 20 с тело (1) пройдет максимальный путь.
- Пройденный путь численно равен площади под графиком скорости (модуля скорости) за данный промежуток времени. Поскольку все скорости положительны в течение первых 20 с, путь равен площади под графиком \(v_x(t)\).
- Путь для тела (1) за 20 с: Трапеция с основаниями \(v_x(0) = 15\) и \(v_x(20) = 15 + 0.5 \cdot 20 = 15 + 10 = 25\). Высота \(t = 20\). \[ S_1 = \frac{15 + 25}{2} \cdot 20 = \frac{40}{2} \cdot 20 = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м} \]
- Путь для тела (2) за 20 с: Прямоугольник с высотой \(v_x = 15\) и основанием \(t = 20\). \[ S_2 = 15 \cdot 20 = 300 \text{ м} \]
- Путь для тела (3) за 20 с: Трапеция с основаниями \(v_x(0) = 15\) и \(v_x(20) = 15 + (-0.5) \cdot 20 = 15 - 10 = 5\). Высота \(t = 20\). \[ S_3 = \frac{15 + 5}{2} \cdot 20 = \frac{20}{2} \cdot 20 = 10 \cdot 20 = 200 \text{ м} \]
Сравнивая пути: \(S_1 = 400 \text{ м}\), \(S_2 = 300 \text{ м}\), \(S_3 = 200 \text{ м}\). Тело (1) действительно пройдет максимальный путь. Это утверждение верно.
Вывод: Верными утверждениями являются 1 и 5.
Ответ: 15