school
Общие знания
verified
Решено AI
Найти угол ABD1 в прямоугольном параллелепипеде: решение
help_outline
Условие задачи
lightbulb
Краткий ответ
Угол ABD1 находится через теорему Пифагора, рассматривая треугольники ABD и BDD1. Сначала находим BD, затем используем его для нахождения нужного угла.
Подробное решение
Решение задачи:
Нам дан прямоугольный параллелепипед.
Известны его измерения:
\(AB = 5\)
\(AD = 4\)
\(AA_1 = 3\)
Нам нужно найти угол \(ABD_1\).
Рассмотрим треугольник \(ABD_1\).
Это треугольник, образованный вершинами \(A\), \(B\) и \(D_1\).
1. Найдем длину отрезка \(BD\).
В основании параллелепипеда лежит прямоугольник \(ABCD\).
Треугольник \(ABD\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(A\).
По теореме Пифагора:
\(BD^2 = AB^2 + AD^2\)
\(BD^2 = 5^2 + 4^2\)
\(BD^2 = 25 + 16\)
\(BD^2 = 41\)
\(BD = \sqrt{41}\)
2. Рассмотрим треугольник \(BDD_1\).
Этот треугольник является прямоугольным, так как ребро \(DD_1\) перпендикулярно плоскости основания \(ABCD\), а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой \(BD\).
Следовательно, угол \(BDD_1\) равен \(90^\circ\).
Нам известны длины сторон:
\(BD = \sqrt{41}\)
\(DD_1 = AA_1 = 3\)
3. Теперь рассмотрим треугольник \(ABD_1\).
В этом треугольнике нам известны стороны \(AB = 5\) и \(AD_1\).
Найдем \(AD_1\).
Треугольник \(ADD_1\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(A\).
\(AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2\)
\(AD_1^2 = 4^2 + 3^2\)
\(AD_1^2 = 16 + 9\)
\(AD_1^2 = 25\)
\(AD_1 = 5\)
Итак, в треугольнике \(ABD_1\):
\(AB = 5\)
\(AD_1 = 5\)
\(BD_1\) - это диагональ параллелепипеда.
Длину диагонали параллелепипеда можно найти по формуле:
\(d^2 = l^2 + w^2 + h^2\)
\(BD_1^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2\)
\(BD_1^2 = 5^2 + 4^2 + 3^2\)
\(BD_1^2 = 25 + 16 + 9\)
\(BD_1^2 = 50\)
\(BD_1 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Таким образом, в треугольнике \(ABD_1\) стороны равны:
\(AB = 5\)
\(AD_1 = 5\)
\(BD_1 = 5\sqrt{2}\)
Мы видим, что \(AB = AD_1 = 5\).
Также \(AB^2 + AD_1^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).
И \(BD_1^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\).
Так как \(AB^2 + AD_1^2 = BD_1^2\), то по обратной теореме Пифагора треугольник \(ABD_1\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(A\).
То есть, угол \(BAD_1 = 90^\circ\).
Нам нужно найти угол \(ABD_1\).
В прямоугольном треугольнике \(ABD_1\) (угол \(A = 90^\circ\)):
\(\cos(\angle ABD_1) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{BD_1}\)
\(\cos(\angle ABD_1) = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Угол, косинус которого равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), равен \(45^\circ\).
Следовательно, \(\angle ABD_1 = 45^\circ\).
Ответ: \(45\)