Решение задачи: Площадь сечения параллелепипеда плоскостью ABC_1

Решение задачи: Нам дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Известны его измерения: \(AB = 3\) \(AD = 6\) \(AA_1 = 8\) Нам нужно найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки \(A\), \(B\) и \(C_1\). 1. Определим форму сечения. Точки \(A\) и \(B\) лежат в одной грани (основании \(ABCD\)), поэтому отрезок \(AB\) является стороной сечения. Точки \(B\) и \(C_1\) лежат в одной грани (боковой грани \(BB_1C_1C\)), поэтому отрезок \(BC_1\) является стороной сечения. Точки \(A\) и \(C_1\) не лежат в одной грани. Чтобы найти третью сторону сечения, нужно провести прямую, параллельную \(BC_1\), через точку \(A\). Однако, в прямоугольном параллелепипеде, если плоскость сечения проходит через две вершины одной грани и одну вершину противоположной грани, то сечение будет треугольником. В данном случае, точки \(A\), \(B\) и \(C_1\) образуют треугольник \(ABC_1\). Это и есть наше сечение. 2. Найдем длины сторон треугольника \(ABC_1\). а) Сторона \(AB\): \(AB = 3\) (дано). б) Сторона \(BC_1\): Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCC_1\). Угол \(BCC_1\) прямой, так как \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания. \(BC = AD = 6\) (противоположные стороны прямоугольника). \(CC_1 = AA_1 = 8\) (высота параллелепипеда). По теореме Пифагора: \(BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2\) \(BC_1^2 = 6^2 + 8^2\) \(BC_1^2 = 36 + 64\) \(BC_1^2 = 100\) \(BC_1 = \sqrt{100} = 10\) в) Сторона \(AC_1\): Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACC_1\). Угол \(ACC_1\) прямой, так как \(CC_1\) перпендикулярно плоскости основания. Сначала найдем длину диагонали основания \(AC\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (угол \(ABC\) прямой): \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) \(AC^2 = 3^2 + 6^2\) \(AC^2 = 9 + 36\) \(AC^2 = 45\) \(AC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) Теперь найдем \(AC_1\): \(AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2\) \(AC_1^2 = 45 + 8^2\) \(AC_1^2 = 45 + 64\) \(AC_1^2 = 109\) \(AC_1 = \sqrt{109}\) Итак, стороны треугольника \(ABC_1\) равны: \(AB = 3\) \(BC_1 = 10\) \(AC_1 = \sqrt{109}\) 3. Определим тип треугольника \(ABC_1\). Проверим, является ли он прямоугольным. \(AB^2 + BC_1^2 = 3^2 + 10^2 = 9 + 100 = 109\) \(AC_1^2 = (\sqrt{109})^2 = 109\) Так как \(AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2\), то по обратной теореме Пифагора треугольник \(ABC_1\) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(B\). То есть, \(\angle ABC_1 = 90^\circ\). 4. Найдем площадь прямоугольного треугольника \(ABC_1\). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Катеты: \(AB\) и \(BC_1\). \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC_1\) \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10\) \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot 30\) \(S_{ABC_1} = 15\) Ответ: \(15\)