Решение задачи: Среднее арифметическое и медиана ряда чисел

Хорошо, давайте решим задачи по порядку. Практическая работа по теме: «Среднее арифметическое. Медиана» Вариант 1 1. Дан ряд чисел: 175; 172; 179; 171; 174; 170; 172; 169. Найдите среднее арифметическое и медиану ряда. Решение: Сначала запишем данный ряд чисел: 175, 172, 179, 171, 174, 170, 172, 169. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить на их количество. Количество чисел в ряду: 8. Сумма чисел: \(175 + 172 + 179 + 171 + 174 + 170 + 172 + 169 = 1362\). Среднее арифметическое: \(1362 / 8 = 170,25\). Чтобы найти медиану, нужно сначала упорядочить ряд чисел по возрастанию. Упорядоченный ряд: 169, 170, 171, 172, 172, 174, 175, 179. Так как количество чисел четное (8), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Центральные числа: 172 и 172. Медиана: \((172 + 172) / 2 = 172\). Ответ: Среднее арифметическое ряда равно 170,25. Медиана ряда равна 172. 2. В институте сдавали зачет по высшей математике. В группе было 10 человек, и они получили соответствующие оценки: 3; 5; 5; 4; 4; 3; 2; 4; 5. Какую оценку получали чаще всего? Каков средний балл сдавшей зачет группы? Решение: Запишем оценки: 3, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 4, 5. Чтобы определить, какую оценку получали чаще всего, найдем моду ряда. Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. Посчитаем количество каждой оценки: Оценка 2: 1 раз Оценка 3: 2 раза Оценка 4: 3 раза Оценка 5: 3 раза Оценки 4 и 5 встречаются по 3 раза, что является наибольшим количеством. В данном случае, если вопрос подразумевает одну оценку, то можно сказать, что оценки 4 и 5 получали чаще всего. Если нужно выбрать одну, то это может быть не совсем корректно, но в математике допускается несколько мод. Чтобы найти средний балл, нужно сложить все оценки и разделить на количество студентов. Количество студентов: 10. Сумма оценок: \(3 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 2 + 4 + 5 = 35\). Средний балл: \(35 / 10 = 3,5\). Ответ: Чаще всего получали оценки 4 и 5. Средний балл сдавшей зачет группы равен 3,5. 3. Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (в рублях): 126000; 138000; 132000; 141000; 150000. Найдите среднюю заработную плату. Решение: Запишем данные о заработной плате: 126000, 138000, 132000, 141000, 150000. Чтобы найти среднюю заработную плату, нужно сложить все значения и разделить на количество рабочих. Количество рабочих: 5. Сумма заработных плат: \(126000 + 138000 + 132000 + 141000 + 150000 = 681000\). Средняя заработная плата: \(681000 / 5 = 136200\). Ответ: Средняя заработная плата равна 136200 рублей. 4. Магазин продает 8 видов булочек по следующим ценам: 31; 22; 24; 27; 30; 36; 19; 27. Найдите разность среднего арифметического и медианы этого набора. Решение: Запишем цены булочек: 31, 22, 24, 27, 30, 36, 19, 27. Количество видов булочек: 8. Найдем среднее арифметическое: Сумма цен: \(31 + 22 + 24 + 27 + 30 + 36 + 19 + 27 = 216\). Среднее арифметическое: \(216 / 8 = 27\). Найдем медиану. Сначала упорядочим цены по возрастанию: 19, 22, 24, 27, 27, 30, 31, 36. Так как количество чисел четное (8), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Центральные числа: 27 и 27. Медиана: \((27 + 27) / 2 = 27\). Найдем разность среднего арифметического и медианы: Разность: \(27 - 27 = 0\). Ответ: Разность среднего арифметического и медианы этого набора равна 0. 5. Провели несколько измерений случайной величины: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8. Найдите медиану этого набора чисел. Решение: Запишем измерения: 2,5; 2,2; 2; 2,4; 2,9; 1,8. Количество измерений: 6. Чтобы найти медиану, упорядочим числа по возрастанию: 1,8; 2; 2,2; 2,4; 2,5; 2,9. Так как количество чисел четное (6), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Центральные числа: 2,2 и 2,4. Медиана: \((2,2 + 2,4) / 2 = 4,6 / 2 = 2,3\). Ответ: Медиана этого набора чисел равна 2,3. 6. Провели несколько измерений случайной величины: 6; 18; 17; 14; 4; 22. Найдите медиану этого набора чисел. Решение: Запишем измерения: 6; 18; 17; 14; 4; 22. Количество измерений: 6. Чтобы найти медиану, упорядочим числа по возрастанию: 4, 6, 14, 17, 18, 22. Так как количество чисел четное (6), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Центральные числа: 14 и 17. Медиана: \((14 + 17) / 2 = 31 / 2 = 15,5\). Ответ: Медиана этого набора чисел равна 15,5. 7. В наборе 10 чисел, их среднее арифметическое равно 5,4. Чему будет равно среднее арифметическое нового набора, если: а) к наименьшему числу данного набора прибавить 5; б) из наибольшего числа вычесть 4? Решение: Пусть сумма 10 чисел равна \(S\). Среднее арифметическое 10 чисел равно 5,4. Значит, \(S / 10 = 5,4\). Отсюда, \(S = 5,4 * 10 = 54\). а) Если к наименьшему числу прибавить 5, то сумма всех чисел увеличится на 5. Новая сумма чисел: \(S' = S + 5 = 54 + 5 = 59\). Количество чисел осталось прежним (10). Новое среднее арифметическое: \(S' / 10 = 59 / 10 = 5,9\). б) Если из наибольшего числа вычесть 4, то сумма всех чисел уменьшится на 4. Новая сумма чисел: \(S'' = S - 4 = 54 - 4 = 50\). Количество чисел осталось прежним (10). Новое среднее арифметическое: \(S'' / 10 = 50 / 10 = 5\). Ответ: а) Среднее арифметическое нового набора будет равно 5,9. б) Среднее арифметическое нового набора будет равно 5. 8. Отмечая время (с точностью до минут), которое токари бригады затратили на обработку одной детали, получили такой ряд данных: 30,32,32,38,36,31,32,38,35,36,32,40,42,36,33,35,32,32,40,38. Для полученного ряда данных найдите медиану. Объясните практический смысл этого статистического показателя. Решение: Запишем ряд данных: 30, 32, 32, 38, 36, 31, 32, 38, 35, 36, 32, 40, 42, 36, 33, 35, 32, 32, 40, 38. Количество данных: 20. Чтобы найти медиану, упорядочим ряд по возрастанию: 1. Сначала посчитаем количество каждого числа, чтобы было удобнее упорядочивать: 1. 30: 1 раз 2. 31: 1 раз 3. 32: 6 раз 4. 33: 1 раз 5. 35: 2 раза 6. 36: 3 раза 7. 38: 3 раза 8. 40: 2 раза 9. 42: 1 раз 2. Упорядоченный ряд: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42. Количество чисел четное (20), поэтому медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных чисел. Центральные числа — это 10-е и 11-е числа в упорядоченном ряду. 10-е число: 35. 11-е число: 35. Медиана: \((35 + 35) / 2 = 35\). Практический смысл медианы: Медиана показывает значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Это означает, что половина токарей затратила на обработку детали 35 минут или меньше, а другая половина — 35 минут или больше. Медиана является устойчивым показателем, так как на нее не влияют сильно выбросы (очень большие или очень маленькие значения), в отличие от среднего арифметического. В данном случае, медиана 35 минут говорит о типичном времени, которое требуется для обработки детали. Ответ: Медиана ряда данных равна 35. Практический смысл медианы заключается в том, что половина токарей затратила на обработку детали не более 35 минут, а другая половина — не менее 35 минут. 9. Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно 15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел? Решение: Пусть сумма десяти чисел равна \(S_{10}\). Среднее арифметическое десяти чисел равно 15. Значит, \(S_{10} / 10 = 15\). Отсюда, \(S_{10} = 15 * 10 = 150\). К ряду приписали число 37. Теперь в ряду стало \(10 + 1 = 11\) чисел. Новая сумма чисел: \(S_{11} = S_{10} + 37 = 150 + 37 = 187\). Новое среднее арифметическое: \(S_{11} / 11 = 187 / 11 = 17\). Ответ: Среднее арифметическое нового ряда чисел равно 17. 10. В ряду чисел 3,8,15,30,___,24 пропущено одно число. Найдите его, если среднее арифметическое ряда равно 18. Решение: Запишем данный ряд чисел: 3, 8, 15, 30, \(x\), 24, где \(x\) — пропущенное число. Количество чисел в ряду: 6. Среднее арифметическое ряда равно 18. Формула для среднего арифметического: (сумма всех чисел) / (количество чисел). \((3 + 8 + 15 + 30 + x + 24) / 6 = 18\). Сначала найдем сумму известных чисел: \(3 + 8 + 15 + 30 + 24 = 80\). Теперь подставим это в уравнение: \((80 + x) / 6 = 18\). Чтобы найти \(80 + x\), умножим обе части уравнения на 6: \(80 + x = 18 * 6\). \(80 + x = 108\). Теперь найдем \(x\): \(x = 108 - 80\). \(x = 28\). Пропущенное число равно 28. Ответ: Пропущенное число равно 28.