Решение задачи: объем треугольной призмы в кубе

Решение задачи: Нам дан куб с ребром, равным 6. Нужно найти объем треугольной призмы, которая отсекается от куба плоскостью. Эта плоскость проходит через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельна третьему ребру, выходящему из этой же вершины. Давайте обозначим вершины куба. Пусть вершина, из которой выходят ребра, будет \(B\). Тогда ребра, выходящие из этой вершины, это \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\). По условию, плоскость проходит через середины двух ребер, выходящих из одной вершины. Пусть это будут ребра \(BA\) и \(BC\). Обозначим середину ребра \(BA\) как \(F\), а середину ребра \(BC\) как \(E\). Тогда \(BF = FA = \frac{1}{2} BA = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\). И \(BE = EC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\). Плоскость также параллельна третьему ребру, выходящему из этой же вершины, то есть ребру \(BB_1\). Это означает, что отсекаемая призма будет иметь высоту, равную длине ребра куба, то есть 6. Основанием отсекаемой призмы является треугольник \(BFE\). Этот треугольник является прямоугольным, так как ребра \(BA\) и \(BC\) перпендикулярны друг другу в кубе. Катеты этого треугольника равны \(BF = 3\) и \(BE = 3\). Площадь основания призмы (треугольника \(BFE\)) вычисляется по формуле: \[S_{BFE} = \frac{1}{2} \cdot BF \cdot BE\] Подставляем значения: \[S_{BFE} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5\] Высота призмы \(h\) равна длине ребра куба, так как плоскость параллельна ребру \(BB_1\). \[h = BB_1 = 6\] Объем призмы \(V\) вычисляется по формуле: \[V = S_{основания} \cdot h\] Подставляем значения: \[V = 4.5 \cdot 6\] \[V = 27\] Таким образом, объем отсекаемой треугольной призмы равен 27. Ответ: 27