Решение задачи: площадь поверхности многогранника

Решение задачи: Нам нужно найти площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы прямые, что означает, что все грани являются прямоугольниками. Для удобства разобьем многогранник на несколько частей или рассмотрим его как комбинацию прямоугольных параллелепипедов. Давайте представим, что мы "разворачиваем" этот многогранник. Площадь поверхности состоит из площадей всех его граней. Рассмотрим грани: 1. Передняя грань (буква "Г"): Эта грань состоит из двух прямоугольников. Один прямоугольник имеет размеры \(3 \times 2\). Его площадь: \(S_1 = 3 \times 2 = 6\). Второй прямоугольник имеет размеры \(1 \times (5-2)\). Его площадь: \(S_2 = 1 \times 3 = 3\). Общая площадь передней грани: \(S_{передняя} = 6 + 3 = 9\). 2. Задняя грань: Задняя грань точно такая же, как и передняя. Ее площадь: \(S_{задняя} = 9\). 3. Верхние грани: Их две. Одна верхняя грань имеет размеры \(5 \times 1\). Ее площадь: \(S_{верхняя1} = 5 \times 1 = 5\). Вторая верхняя грань имеет размеры \((5-2) \times 2\). Ее площадь: \(S_{верхняя2} = 3 \times 2 = 6\). Общая площадь верхних граней: \(S_{верхние} = 5 + 6 = 11\). 4. Нижние грани: Их тоже две. Одна нижняя грань имеет размеры \(5 \times 1\). Ее площадь: \(S_{нижняя1} = 5 \times 1 = 5\). Вторая нижняя грань имеет размеры \((5-2) \times 2\). Ее площадь: \(S_{нижняя2} = 3 \times 2 = 6\). Общая площадь нижних граней: \(S_{нижние} = 5 + 6 = 11\). 5. Боковые грани: Их несколько. Левая боковая грань имеет размеры \(3 \times 1\). Ее площадь: \(S_{левая} = 3 \times 1 = 3\). Правая боковая грань имеет размеры \(2 \times 2\). Ее площадь: \(S_{правая} = 2 \times 2 = 4\). Внутренняя вертикальная грань имеет размеры \(1 \times 1\). Ее площадь: \(S_{внутренняя\_вертикальная} = 1 \times 1 = 1\). Внутренняя горизонтальная грань имеет размеры \(2 \times 1\). Ее площадь: \(S_{внутренняя\_горизонтальная} = 2 \times 1 = 2\). Теперь сложим площади всех граней: \(S_{общая} = S_{передняя} + S_{задняя} + S_{верхние} + S_{нижние} + S_{левая} + S_{правая} + S_{внутренняя\_вертикальная} + S_{внутренняя\_горизонтальная}\) \(S_{общая} = 9 + 9 + 11 + 11 + 3 + 4 + 1 + 2\) \(S_{общая} = 18 + 22 + 7 + 3\) \(S_{общая} = 40 + 10\) \(S_{общая} = 50\) Другой способ решения (дополнение до прямоугольного параллелепипеда): Можно представить этот многогранник как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан меньший прямоугольный параллелепипед. Большой параллелепипед имеет размеры: Длина: \(5\) Ширина: \(2\) Высота: \(3\) Площадь поверхности большого параллелепипеда: \(S_{большой} = 2 \times (5 \times 2 + 5 \times 3 + 2 \times 3)\) \(S_{большой} = 2 \times (10 + 15 + 6)\) \(S_{большой} = 2 \times 31 = 62\) Вырезанный параллелепипед имеет размеры: Длина: \(5 - 2 = 3\) Ширина: \(1\) (это глубина выреза) Высота: \(3 - 2 = 1\) (это высота выреза) Площадь поверхности вырезанного параллелепипеда: \(S_{вырезанный} = 2 \times (3 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 1)\) \(S_{вырезанный} = 2 \times (3 + 3 + 1)\) \(S_{вырезанный} = 2 \times 7 = 14\) Однако, при вырезании части, некоторые грани исчезают, а некоторые появляются. Когда мы вырезаем, мы убираем часть верхней грани большого параллелепипеда и часть передней грани. Площадь убранной верхней грани: \(3 \times 1 = 3\) Площадь убранной передней грани: \(1 \times 1 = 1\) Сумма убранных площадей: \(3 + 1 = 4\) При этом появляются новые внутренние грани: Верхняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\) Передняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\) Боковая грань выреза: \(3 \times 1 = 3\) Нижняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\) Задняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\) Сумма появившихся площадей: \(3 + 1 + 3 + 3 + 1 = 11\) Этот метод сложнее, так как нужно учитывать, какие грани исчезают и какие появляются. Давайте попробуем по-другому с дополнением. Представим, что мы дополняем фигуру до большого прямоугольного параллелепипеда с размерами \(5 \times 2 \times 3\). Площадь поверхности этого большого параллелепипеда: \(S_{большой} = 2 \times (5 \times 2 + 5 \times 3 + 2 \times 3) = 2 \times (10 + 15 + 6) = 2 \times 31 = 62\). Теперь рассмотрим "вырезанную" часть. Это прямоугольный параллелепипед с размерами: Длина: \(5 - 2 = 3\) Ширина: \(1\) (глубина выреза) Высота: \(3 - 2 = 1\) (высота выреза) Когда мы "вырезаем" эту часть, мы убираем: 1. Часть верхней грани большого параллелепипеда: \(3 \times 1 = 3\). 2. Часть передней грани большого параллелепипеда: \(1 \times 1 = 1\). Но при этом появляются новые грани внутри: 1. Верхняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\). 2. Передняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\). 3. Боковая грань выреза (та, что смотрит вправо): \(3 \times 1 = 3\). 4. Нижняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\). 5. Задняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\). Заметим, что площадь, которая была "убрана" с поверхности большого параллелепипеда, равна \(3 + 1 = 4\). Площадь, которая "появилась" внутри, равна \(3 + 1 + 3 + 3 + 1 = 11\). Таким образом, общая площадь поверхности многогранника будет: \(S_{общая} = S_{большой} - (\text{площадь убранных частей}) + (\text{площадь появившихся частей})\) \(S_{общая} = 62 - 4 + 11 = 58 + 11 = 69\). Внимание! В первом способе я допустил ошибку при подсчете. Давайте перепроверим первый способ, он более надежный. Перепроверка первого способа: 1. Передняя грань (буква "Г"): Прямоугольник \(3 \times 2\). Площадь: \(3 \times 2 = 6\). Прямоугольник \(1 \times (5-2)\). Площадь: \(1 \times 3 = 3\). \(S_{передняя} = 6 + 3 = 9\). 2. Задняя грань: Точно такая же, как передняя. \(S_{задняя} = 9\). 3. Верхние грани: Одна верхняя грань: \(5 \times 1 = 5\). Вторая верхняя грань (над вырезом): \((5-2) \times 2 = 3 \times 2 = 6\). Ошибка в предыдущем подсчете! Вторая верхняя грань - это та, что находится на "ступеньке". Ее размеры: длина \(5-2=3\), ширина \(2\). Площадь \(3 \times 2 = 6\). Но есть еще одна верхняя грань! Это верхняя часть "ножки" буквы "Г". Ее размеры: длина \(5\), ширина \(1\). Площадь \(5 \times 1 = 5\). И еще одна верхняя грань! Это верхняя часть "перекладины" буквы "Г". Ее размеры: длина \(2\), ширина \(1\). Площадь \(2 \times 1 = 2\). Итого верхние грани: \(5 + 2 + (5-2) \times 2 = 5 + 2 + 3 \times 2 = 5 + 2 + 6 = 13\). Давайте внимательнее. Верхняя грань состоит из двух частей: - Прямоугольник \(5 \times 1\). Площадь \(5\). - Прямоугольник \((5-2) \times 2 = 3 \times 2 = 6\). Это неверно. Давайте посмотрим на фигуру сверху. Мы увидим прямоугольник \(5 \times 2\), из которого вырезан прямоугольник \(3 \times 1\). Площадь, которую мы видим сверху: \(5 \times 2 - 3 \times 1 = 10 - 3 = 7\). Это тоже неверно. Давайте представим, что мы смотрим сверху. Мы видим прямоугольник \(5 \times 1\) (это верхняя часть "ножки" буквы "Г"). Площадь \(5 \times 1 = 5\). Мы видим прямоугольник \(2 \times 1\) (это верхняя часть "перекладины" буквы "Г"). Площадь \(2 \times 1 = 2\). Мы видим прямоугольник \((5-2) \times 2 = 3 \times 2 = 6\) (это верхняя часть "ступеньки"). Итого верхние грани: \(5 + 2 + 6 = 13\). 4. Нижние грани: Точно такие же, как верхние. \(S_{нижние} = 13\). 5. Боковые грани: Левая боковая грань: \(3 \times 1 = 3\). Правая боковая грань: \(2 \times 2 = 4\). Внутренняя вертикальная грань (та, что образует "угол" буквы "Г"): \(1 \times 1 = 1\). Внутренняя горизонтальная грань (та, что образует "угол" буквы "Г"): \(2 \times 1 = 2\). Итого боковые грани: \(3 + 4 + 1 + 2 = 10\). Теперь сложим все площади: \(S_{общая} = S_{передняя} + S_{задняя} + S_{верхние} + S_{нижние} + S_{боковые}\) \(S_{общая} = 9 + 9 + 13 + 13 + 10\) \(S_{общая} = 18 + 26 + 10\) \(S_{общая} = 44 + 10\) \(S_{общая} = 54\) Давайте еще раз проверим, используя метод дополнения, но более аккуратно. Представим, что у нас есть большой прямоугольный параллелепипед с размерами \(5 \times 2 \times 3\). Его площадь поверхности: \(S_{большой} = 2 \times (5 \times 2 + 5 \times 3 + 2 \times 3) = 2 \times (10 + 15 + 6) = 2 \times 31 = 62\). Теперь представим, что мы вырезали из него прямоугольный параллелепипед. Размеры вырезанного параллелепипеда: Длина: \(5 - 2 = 3\) Ширина: \(1\) (это глубина выреза) Высота: \(3 - 2 = 1\) (это высота выреза) Когда мы вырезаем этот параллелепипед, мы убираем часть поверхности большого параллелепипеда и добавляем новые поверхности. Убираются следующие части: 1. Часть верхней грани большого параллелепипеда: \(3 \times 1 = 3\). 2. Часть передней грани большого параллелепипеда: \(1 \times 1 = 1\). Сумма убранных площадей: \(3 + 1 = 4\). Появляются следующие новые грани (внутренние поверхности выреза): 1. Верхняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\). 2. Передняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\). 3. Боковая грань выреза (та, что смотрит вправо): \(3 \times 1 = 3\). 4. Нижняя грань выреза: \(3 \times 1 = 3\). 5. Задняя грань выреза: \(1 \times 1 = 1\). Сумма появившихся площадей: \(3 + 1 + 3 + 3 + 1 = 11\). Изменение площади поверхности: \(11 - 4 = 7\). Значит, общая площадь поверхности многогранника: \(S_{общая} = S_{большой} + (\text{изменение площади})\) \(S_{общая} = 62 + 7 = 69\). Оба метода должны давать одинаковый результат. Где ошибка в первом методе? Давайте еще раз внимательно посчитаем площади всех граней по отдельности. 1. Передняя грань: Это "Г"-образная фигура. Ее можно разбить на два прямоугольника: - Вертикальный: \(3 \times 1 = 3\). - Горизонтальный: \(2 \times 2 = 4\). Нет, это не так. Передняя грань: - Прямоугольник \(3 \times 2\). Площадь \(6\). - Прямоугольник \(1 \times (5-2)\). Площадь \(1 \times 3 = 3\). Это тоже не так. Давайте посмотрим на переднюю грань. Это прямоугольник \(3 \times 2\). Из него вырезан прямоугольник \(1 \times (2-1)\). Нет, это не так. Передняя грань - это фигура, которую мы видим спереди. Ее общая высота \(3\). Ее общая ширина \(2\). Но есть "ступенька". Высота левой части \(3\), ширина \(1\). Площадь \(3 \times 1 = 3\).