Задача №3
Дано:
Четырёхугольник \(ABCD\).
Точки \(M\), \(N\), \(K\) лежат на сторонах или внутри четырёхугольника.
Прямая \(MN\) параллельна прямой \(AB\) (\(MN \parallel AB\)).
Прямая \(MK\) параллельна прямой \(AC\) (\(MK \parallel AC\)).
Доказать:
Плоскость, проходящая через точки \(A\), \(B\), \(C\) параллельна плоскости, проходящей через точки \(M\), \(N\), \(K\) (то есть \((ABC) \parallel (MNK)\)).
Доказательство:
1. Рассмотрим прямую \(MN\). По условию, \(MN \parallel AB\).
2. Прямая \(AB\) лежит в плоскости \((ABC)\).
3. Если прямая \(MN\) параллельна прямой \(AB\), которая лежит в плоскости \((ABC)\), то прямая \(MN\) параллельна плоскости \((ABC)\).
(По признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости).
4. Рассмотрим прямую \(MK\). По условию, \(MK \parallel AC\).
5. Прямая \(AC\) лежит в плоскости \((ABC)\).
6. Если прямая \(MK\) параллельна прямой \(AC\), которая лежит в плоскости \((ABC)\), то прямая \(MK\) параллельна плоскости \((ABC)\).
(По признаку параллельности прямой и плоскости).
7. Прямые \(MN\) и \(MK\) пересекаются в точке \(M\).
8. Прямые \(MN\) и \(MK\) лежат в плоскости \((MNK)\).
9. Если две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MK\), лежащие в плоскости \((MNK)\), параллельны плоскости \((ABC)\), то плоскость \((MNK)\) параллельна плоскости \((ABC)\).
(По признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).
Таким образом, мы доказали, что \((ABC) \parallel (MNK)\).
Что и требовалось доказать.