Задача 14. На рисунке представлены графики зависимости проекции скорости от времени для трех тел, движущихся вдоль оси Ox. Используя данные графиков, выберите из предложенного перечня два верных утверждения. Запишите в ответе их номера.
1) В начальный момент времени все три тела имели одинаковую скорость.
2) Тело (1) движется с наибольшим по модулю ускорением.
3) Тело (3) с начала наблюдения движется в отрицательном направлении оси Ox.
4) Уравнение зависимости проекции скорости от времени для тела (1) имеет вид: \(v_x = 30 + t\) (единицы СИ).
5) В течение первых 20 с тело (1) пройдет максимальный путь.
Решение:
Проанализируем каждый график и каждое утверждение.
График 1 (красная линия):
- Начальная скорость (при \(t=0\)): \(v_{x0(1)} = 15 \text{ м/с}\).
- Скорость в момент \(t=50 \text{ с}\): \(v_{x(1)} = 40 \text{ м/с}\).
- Ускорение \(a_1 = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{40 - 15}{50 - 0} = \frac{25}{50} = 0,5 \text{ м/с}^2\).
- Уравнение скорости: \(v_x = 15 + 0,5t\).
График 2 (зеленая линия):
- Начальная скорость (при \(t=0\)): \(v_{x0(2)} = 15 \text{ м/с}\).
- Скорость постоянна: \(v_{x(2)} = 15 \text{ м/с}\).
- Ускорение \(a_2 = 0 \text{ м/с}^2\).
- Уравнение скорости: \(v_x = 15\).
График 3 (синяя линия):
- Начальная скорость (при \(t=0\)): \(v_{x0(3)} = 15 \text{ м/с}\).
- Скорость в момент \(t=20 \text{ с}\): \(v_{x(3)} = 0 \text{ м/с}\).
- Скорость в момент \(t=50 \text{ с}\): \(v_{x(3)} = -15 \text{ м/с}\).
- Ускорение \(a_3 = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{0 - 15}{20 - 0} = \frac{-15}{20} = -0,75 \text{ м/с}^2\).
- Уравнение скорости: \(v_x = 15 - 0,75t\).
Теперь проверим утверждения:
1) В начальный момент времени все три тела имели одинаковую скорость.
- При \(t=0\):
- Тело (1): \(v_{x0(1)} = 15 \text{ м/с}\).
- Тело (2): \(v_{x0(2)} = 15 \text{ м/с}\).
- Тело (3): \(v_{x0(3)} = 15 \text{ м/с}\).
Все три тела имели одинаковую начальную скорость \(15 \text{ м/с}\). Утверждение 1 верно.
2) Тело (1) движется с наибольшим по модулю ускорением.
- Модуль ускорения тела (1): \(|a_1| = 0,5 \text{ м/с}^2\).
- Модуль ускорения тела (2): \(|a_2| = 0 \text{ м/с}^2\).
- Модуль ускорения тела (3): \(|a_3| = |-0,75| = 0,75 \text{ м/с}^2\).
Наибольшее по модулю ускорение у тела (3) (\(0,75 \text{ м/с}^2\)). Утверждение 2 неверно.
3) Тело (3) с начала наблюдения движется в отрицательном направлении оси Ox.
- Для тела (3) начальная скорость \(v_{x0(3)} = 15 \text{ м/с}\) (положительная).
- Скорость становится равной 0 при \(t=20 \text{ с}\).
- После \(t=20 \text{ с}\) скорость становится отрицательной (например, при \(t=50 \text{ с}\), \(v_{x(3)} = -15 \text{ м/с}\)).
С начала наблюдения (от \(t=0\)) до \(t=20 \text{ с}\) тело (3) движется в положительном направлении оси Ox, а затем меняет направление движения на отрицательное. Утверждение 3 неверно.
4) Уравнение зависимости проекции скорости от времени для тела (1) имеет вид: \(v_x = 30 + t\) (единицы СИ).
- Мы определили, что уравнение для тела (1) имеет вид \(v_x = 15 + 0,5t\).
Утверждение 4 неверно.
5) В течение первых 20 с тело (1) пройдет максимальный путь.
Путь, пройденный телом, равен площади под графиком скорости (модуля скорости) на интервале времени. Поскольку все скорости положительны на интервале от 0 до 20 с для тел (1) и (2), и для тела (3) до 20 с, путь равен площади под графиком \(v_x(t)\).
- Тело (1): Трапеция с основаниями \(v_{x0(1)} = 15 \text{ м/с}\) и \(v_{x(1)}(20) = 15 + 0,5 \cdot 20 = 15 + 10 = 25 \text{ м/с}\). Высота \(t = 20 \text{ с}\). \[S_1 = \frac{15 + 25}{2} \cdot 20 = \frac{40}{2} \cdot 20 = 20 \cdot 20 = 400 \text{ м}\]
- Тело (2): Прямоугольник с высотой \(v_{x(2)} = 15 \text{ м/с}\) и основанием \(t = 20 \text{ с}\). \[S_2 = 15 \cdot 20 = 300 \text{ м}\]
- Тело (3): Треугольник с основанием \(v_{x0(3)} = 15 \text{ м/с}\) и высотой \(t = 20 \text{ с}\) (скорость уменьшается до 0). \[S_3 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ м}\]
Сравнивая пути: \(S_1 = 400 \text{ м}\), \(S_2 = 300 \text{ м}\), \(S_3 = 150 \text{ м}\). Тело (1) действительно пройдет максимальный путь. Утверждение 5 верно.
Вывод: Верными являются утверждения 1 и 5.
Ответ: 15