Задача 19. Один из двух одинаковых сплошных деревянных брусков плавает в воде, другой — в керосине. Сравните выталкивающие силы, действующие на бруски. Ответ поясните.
Решение:
1. По условию задачи, оба бруска одинаковые и сплошные, то есть имеют одинаковую массу \(m\) и одинаковый объем \(V\). Оба бруска плавают, что означает, что они находятся в равновесии, и выталкивающая сила, действующая на каждый брусок, равна силе тяжести, действующей на этот брусок.
2. Сила тяжести, действующая на брусок, определяется по формуле:
\[F_{\text{тяж}} = mg\] где \(m\) — масса бруска, \(g\) — ускорение свободного падения.3. Поскольку оба бруска одинаковые, их массы \(m\) равны. Следовательно, силы тяжести, действующие на оба бруска, также равны.
4. Из условия плавания (равновесия) следует, что выталкивающая сила \(F_{\text{выт}}\) равна силе тяжести \(F_{\text{тяж}}\):
\[F_{\text{выт}} = F_{\text{тяж}}\]5. Так как силы тяжести, действующие на оба бруска, одинаковы, то и выталкивающие силы, действующие на них, также будут одинаковыми.
Пояснение:
Деревянные бруски плавают как в воде, так и в керосине, потому что плотность дерева меньше плотности обеих жидкостей. Когда тело плавает, оно находится в состоянии равновесия, и выталкивающая сила, действующая на него со стороны жидкости, точно уравновешивает силу тяжести, действующую на само тело. Поскольку оба бруска одинаковые, их массы равны, а значит, и силы тяжести, действующие на них, одинаковы. Следовательно, выталкивающие силы, которые уравновешивают эти силы тяжести, также должны быть одинаковыми, независимо от того, в какой жидкости (вода или керосин) они плавают.
Ответ: Выталкивающие силы, действующие на бруски, одинаковы.
***
Задача 20. Какое количество теплоты выделяется при превращении 500 г воды, взятой при \(0^\circ\text{C}\), в лед при температуре \(-10^\circ\text{C}\)? Потерями энергии на нагревание окружающего воздуха пренебречь.
Дано:
Масса воды \(m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\)
Начальная температура воды \(t_1 = 0^\circ\text{C}\)
Конечная температура льда \(t_2 = -10^\circ\text{C}\)
Константы:
Удельная теплота кристаллизации (плавления) льда \(\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}\)
Удельная теплоемкость льда \(c_{\text{льда}} = 2100 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)}\)
Найти:
Количество теплоты \(Q\)
Решение:
Процесс превращения воды при \(0^\circ\text{C}\) в лед при \(-10^\circ\text{C}\) состоит из двух этапов:
1. Кристаллизация (замерзание) воды при \(0^\circ\text{C}\) в лед при \(0^\circ\text{C}\). Количество теплоты, выделяющееся при этом, рассчитывается по формуле:
\[Q_1 = \lambda m\] \[Q_1 = 3,3 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг} \cdot 0,5 \text{ кг} = 1,65 \cdot 10^5 \text{ Дж}\]2. Охлаждение льда от \(0^\circ\text{C}\) до \(-10^\circ\text{C}\). Количество теплоты, выделяющееся при этом, рассчитывается по формуле:
\[Q_2 = c_{\text{льда}} m \Delta t\] где \(\Delta t = t_1 - t_2 = 0^\circ\text{C} - (-10^\circ\text{C}) = 10^\circ\text{C}\). \[Q_2 = 2100 \text{ Дж/(кг}\cdot^\circ\text{C)} \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot 10^\circ\text{C} = 10500 \text{ Дж} = 1,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}\]3. Общее количество теплоты, выделившееся в процессе, равно сумме теплоты, выделившейся на каждом этапе:
\[Q = Q_1 + Q_2\] \[Q = 1,65 \cdot 10^5 \text{ Дж} + 1,05 \cdot 10^4 \text{ Дж} = 165000 \text{ Дж} + 10500 \text{ Дж} = 175500 \text{ Дж}\]Ответ: \(175500 \text{ Дж}\) (или \(175,5 \text{ кДж}\)).
***
Задача 21. Маленький камушек свободно падает без начальной скорости с высоты 45 м на поверхность Земли. Определите время \(T\), за которое камушек пройдет последнюю половину своего пути. Ускорение свободного падения принять равным \(10 \text{ м/с}^2\).
Дано:
Начальная скорость \(v_0 = 0 \text{ м/с}\)
Общая высота падения \(H = 45 \text{ м}\)
Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Найти:
Время \(T\), за которое камушек пройдет последнюю половину пути.
Решение:
1. Найдем общее время падения \(t_{\text{общ}}\) с высоты \(H\). Для свободного падения без начальной скорости путь \(h\) связан со временем \(t\) формулой:
\[h = \frac{gt^2}{2}\] Отсюда время падения: \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\] Для всего пути \(H = 45 \text{ м}\): \[t_{\text{общ}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 45}{10}} = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3 \text{ с}\]2. Определим высоту, с которой начинается последняя половина пути. Последняя половина пути составляет \(H/2 = 45 \text{ м} / 2 = 22,5 \text{ м}\). Это означает, что камушек проходит путь от высоты \(H\) до высоты \(H/2\), а затем от высоты \(H/2\) до 0. Нас интересует время, за которое камушек пройдет путь от \(H/2\) до 0. То есть, камушек падает с высоты \(H\) до \(H/2\), а затем с высоты \(H/2\) до земли. Последняя половина пути — это путь от \(H/2\) до 0. Значит, камушек проходит путь \(h' = H - H/2 = H/2 = 22,5 \text{ м}\) за время \(t'\), а затем оставшиеся \(H/2 = 22,5 \text{ м}\) за время \(T\).
3. Найдем время \(t'\), за которое камушек пройдет первую половину пути (то есть упадет на высоту \(H/2 = 22,5 \text{ м}\) от начальной точки). Путь, пройденный за время \(t'\), равен \(H/2 = 22,5 \text{ м}\).
\[t' = \sqrt{\frac{2 \cdot (H/2)}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 22,5}{10}} = \sqrt{\frac{45}{10}} = \sqrt{4,5} \approx 2,12 \text{ с}\] (Внимание: это время до того момента, когда камушек достигнет середины пути, то есть до высоты \(H/2\) от земли. Но в задаче спрашивается про последнюю половину пути, то есть от высоты \(H/2\) до земли.)4. Время \(T\), за которое камушек пройдет последнюю половину своего пути, это разница между общим временем падения и временем, за которое камушек прошел первую половину пути (то есть достиг высоты \(H/2\) от земли).
Время, за которое камушек достигнет высоты \(H/2 = 22,5 \text{ м}\) от земли (то есть пролетит \(H - H/2 = 22,5 \text{ м}\) от начальной точки): \[t_{\text{до } H/2} = \sqrt{\frac{2 \cdot (H/2)}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 22,5}{10}} = \sqrt{4,5} \text{ с}\] Время, за которое камушек пройдет последнюю половину пути, равно: \[T = t_{\text{общ}} - t_{\text{до } H/2}\] \[T = 3 \text{ с} - \sqrt{4,5} \text{ с} \approx 3 - 2,121 = 0,879 \text{ с}\]Ответ: \(0,88 \text{ с}\) (округляя до сотых).
***
Задача 22. Подъемный кран равноускоренно с ускорением \(a = 0,2 \text{ м/с}^2\) поднимает груз массой 1140 кг из состояния покоя. Электродвигатель крана питается от сети напряжением 380 В и в конце подъема имеет КПД, равный 60%. Сила тока в обмотке электродвигателя 102 А. Определите время подъема груза.
Дано:
Ускорение \(a = 0,2 \text{ м/с}^2\)
Масса груза \(m = 1140 \text{ кг}\)
Напряжение \(U = 380 \text{ В}\)
КПД \(\eta = 60\% = 0,6\)
Сила тока \(I = 102 \text{ А}\)
Ускорение свободного падения \(g = 10 \text{ м/с}^2\)
Найти:
Время подъема груза \(t\)
Решение:
1. Найдем силу натяжения троса \(F_{\text{нат}}\). Груз движется вверх с ускорением \(a\). По второму закону Ньютона:
\[F_{\text{нат}} - mg = ma\] \[F_{\text{нат}} = m(g + a)\] \[F_{\text{нат}} = 1140 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 + 0,2 \text{ м/с}^2) = 1140 \text{ кг} \cdot 10,2 \text{ м/с}^2 = 11628 \text{ Н}\]2. Найдем высоту подъема \(h\). Груз поднимается из состояния покоя с постоянным ускорением. Высота подъема за время \(t\) определяется по формуле:
\[h = v_0 t + \frac{at^2}{2}\] Так как \(v_0 = 0\): \[h = \frac{at^2}{2}\]3. Найдем полезную работу \(A_{\text{пол}}\). Полезная работа — это работа по подъему груза на высоту \(h\):
\[A_{\text{пол}} = F_{\text{нат}} h = F_{\text{нат}} \frac{at^2}{2}\]4. Найдем полную работу (затраченную энергию) \(A_{\text{затр}}\). Полная работа, совершаемая электродвигателем, равна произведению мощности на время:
\[A_{\text{затр}} = P t\] Мощность электродвигателя \(P\) определяется как \(P = UI\): \[A_{\text{затр}} = U I t\] \[A_{\text{затр}} = 380 \text{ В} \cdot 102 \text{ А} \cdot t = 38760 t \text{ Дж}\]5. Используем формулу КПД. Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы к затраченной работе:
\[\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}\] \[0,6 = \frac{F_{\text{нат}} \frac{at^2}{2}}{U I t}\]6. Выразим время \(t\). \[0,6 = \frac{F_{\text{нат}} a t^2}{2 U I t}\] Сократим \(t\) в числителе и знаменателе (при \(t \neq 0\)):
\[0,6 = \frac{F_{\text{нат}} a t}{2 U I}\] Выразим \(t\): \[t = \frac{0,6 \cdot 2 U I}{F_{\text{нат}} a}\] \[t = \frac{1,2 \cdot U I}{F_{\text{нат}} a}\]7. Подставим числовые значения:
\[t = \frac{1,2 \cdot 380 \text{ В} \cdot 102 \text{ А}}{11628 \text{ Н} \cdot 0,2 \text{ м/с}^2}\] \[t = \frac{46512}{2325,6} \approx 20 \text{ с}\]Ответ: \(20 \text{ с}\).