Решение задачи 19: Свойства прямоугольника, ромба и квадрата

Хорошо, давайте решим эти задания. Задание 19. ПРОВЕРЬ СЕБЯ. * Вставьте пропущенное слово/слова. 1) Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы **прямые**. 2) Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны **равны**. 3) Диагонали ромба взаимно **перпендикулярны** и делят его углы **пополам**. 4) Диагонали прямоугольника **равны**. 5) Квадрат – это **прямоугольник (или ромб)**, у которого все стороны равны. * Определите, верно ли утверждение. 6) Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник – прямоугольник. **Нет** (это может быть и равнобедренная трапеция). 7) Четырёхугольник является ромбом, если у него диагонали перпендикулярны. **Нет** (это может быть и дельтоид). 8) Всякий прямоугольник является квадратом. **Нет**. 9) Всякий прямоугольник является параллелограммом. **Да**. 10) Любой квадрат является прямоугольником. **Да**. 11) Любой квадрат является ромбом. **Да**. 12) Существует ромб, который не является параллелограммом. **Нет** (ромб по определению является параллелограммом). * Выполните задание. 13) \(ABCD\) – ромб. Найдите углы \(\alpha\) и \(\beta\), используя данные рисунка. Решение: В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Угол \(BOC\) равен \(90^\circ\), так как диагонали ромба перпендикулярны. В треугольнике \(BOC\): Угол \(OBC\) равен \(32^\circ\). Угол \(BCO\) равен \(90^\circ - 32^\circ = 58^\circ\). Так как диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BCD\), то угол \(BCD = 2 \cdot \angle BCO = 2 \cdot 58^\circ = 116^\circ\). Угол \(\alpha\) – это угол \(BCD\), значит \(\alpha = 116^\circ\). В ромбе противоположные углы равны, поэтому \(\angle BAD = \angle BCD = 116^\circ\). Сумма соседних углов ромба равна \(180^\circ\). \(\angle ABC = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\). Так как диагональ \(BD\) является биссектрисой угла \(ABC\), то \(\angle ABD = \angle DBC = 32^\circ\). Угол \(\beta\) – это угол \(ADB\). В треугольнике \(AOD\): Угол \(AOD = 90^\circ\). Угол \(DAO\) равен \(\angle BAC\). Так как диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\), то \(\angle BAC = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 116^\circ = 58^\circ\). Значит, \(\angle DAO = 58^\circ\). Угол \(\beta = \angle ADB = 90^\circ - \angle DAO = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ\). Ответ: \(\alpha = 116^\circ\), \(\beta = 32^\circ\). 14) \(ABCD\) – прямоугольник. Найдите периметр треугольника \(AOB\), используя данные рисунка. Решение: В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(AO = BO = CO = DO\). Из рисунка видно, что \(AD = 12\). В прямоугольном треугольнике \(COD\): Угол \(OCD = 30^\circ\). Угол \(CDO = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Так как \(AO = DO\), то треугольник \(AOD\) равнобедренный. Угол \(DAO = \angle ADO = 60^\circ\). Тогда угол \(AOD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ\). Значит, треугольник \(AOD\) равносторонний, и \(AO = DO = AD = 12\). Так как \(AO = BO\), то \(BO = 12\). Периметр треугольника \(AOB\) равен \(AO + BO + AB\). Нам нужно найти \(AB\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\): Угол \(BAC = \angle OAB\). Угол \(OAB = \angle OBA = 60^\circ\) (так как треугольник \(AOB\) равносторонний, потому что \(AO=BO\) и \(\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\), а \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) вертикальные, поэтому \(\angle AOB = 60^\circ\). Тогда \(\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ\)). Значит, треугольник \(AOB\) равносторонний. Тогда \(AB = AO = BO = 12\). Периметр треугольника \(AOB = AO + BO + AB = 12 + 12 + 12 = 36\). Ответ: \(36\). 15) Найдите периметр \(FKHT\), используя данные рисунка. Решение: На рисунке изображен четырехугольник \(FKHT\). По отметкам на сторонах видно, что: \(FK = KH\) (две черточки) \(HT = TF\) (одна черточка) Также видно, что \(FK \perp KH\) (прямой угол в вершине \(K\)). И \(HT \perp TF\) (прямой угол в вершине \(T\)). Это означает, что \(FKHT\) состоит из двух равнобедренных прямоугольных треугольников \(FKH\) и \(FTH\). В треугольнике \(FKH\): \(FK = KH\). Угол \(FKH = 90^\circ\). Гипотенуза \(FH\). В треугольнике \(FTH\): \(FT = TH\). Угол \(FTH = 90^\circ\). Гипотенуза \(FH\). Из рисунка также видно, что \(KS = 30\). \(S\) – это точка на стороне \(KC\). И \(KC\) – это сторона квадрата \(ABCD\). На рисунке есть квадрат \(ABCD\). Сторона квадрата \(BC\) равна \(30\). Тогда \(AB = BC = CD = DA = 30\). На рисунке \(FK\) и \(KH\) – это половины сторон квадрата. \(FK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\). \(KH = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\). Значит, \(FK = KH = 15\). Аналогично, \(FT\) и \(TH\) – это половины сторон квадрата. \(FT = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\). \(TH = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15\). Значит, \(FT = TH = 15\). Периметр \(FKHT = FK + KH + HT + TF = 15 + 15 + 15 + 15 = 60\). Ответ: \(60\).