II вариант
1. В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи».
А) Бросают пару различных монет. «Успех» - выпадение двух орлов;
Решение: Пусть О - орел, Р - решка. Возможные исходы при бросании двух монет: (О, О), (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Всего 4 исхода. «Успех» - выпадение двух орлов, то есть (О, О). Это 1 благоприятный исход. Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{1}{4}\). «Неудача» - это все остальные исходы, то есть (О, Р), (Р, О), (Р, Р). Это 3 исхода. Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = 1 - P(\text{успех}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Б) Бросают игральный кубик. «Неудача» - выпадение числа, кратного трем;
Решение: Возможные исходы при бросании игрального кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего 6 исходов. «Неудача» - выпадение числа, кратного трем. Это числа 3 и 6. Всего 2 неблагоприятных исхода. Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{\text{количество неблагоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). «Успех» - это выпадение числа, не кратного трем. Это числа 1, 2, 4, 5. Всего 4 благоприятных исхода. Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = 1 - P(\text{неудача}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
В) Бросают пару различных кубиков. «Успех» - выпадение двух четных чисел;
Решение: При бросании одного кубика четные числа: 2, 4, 6 (3 исхода). Нечетные числа: 1, 3, 5 (3 исхода). Общее количество исходов при бросании двух кубиков: \(6 \times 6 = 36\). «Успех» - выпадение двух четных чисел. Количество благоприятных исходов: (четное на первом кубике) \(\times\) (четное на втором кубике) \( = 3 \times 3 = 9\). Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\). «Неудача» - это все остальные исходы. Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = 1 - P(\text{успех}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Г) Из 36 карт берут 7. «Неудача» - среди них нет дамы пик.
Решение: Общее количество способов выбрать 7 карт из 36: \(C_{36}^7 = \frac{36!}{7!(36-7)!} = \frac{36!}{7!29!}\). «Неудача» - среди 7 выбранных карт нет дамы пик. Это означает, что все 7 карт выбраны из оставшихся \(36 - 1 = 35\) карт (без дамы пик). Количество неблагоприятных исходов: \(C_{35}^7 = \frac{35!}{7!(35-7)!} = \frac{35!}{7!28!}\). Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{C_{35}^7}{C_{36}^7} = \frac{\frac{35!}{7!28!}}{\frac{36!}{7!29!}} = \frac{35! \cdot 7! \cdot 29!}{7! \cdot 28! \cdot 36!} = \frac{29}{36}\). Вероятность «успеха» (среди 7 карт есть дама пик) \(P(\text{успех}) = 1 - P(\text{неудача}) = 1 - \frac{29}{36} = \frac{7}{36}\).
2. Симметричную монету подбрасывают 5 раз.
А) Запишите два каких-нибудь элементарных исхода, благоприятствующих событию «выпало три решки»;
Решение: Элементарный исход - это последовательность результатов 5 подбрасываний. Р - решка, О - орел. Событие «выпало три решки» означает, что в последовательности из 5 символов (Р или О) ровно 3 символа Р. Два примера таких исходов: 1) РРРОО (три решки, два орла) 2) РОРРО (три решки, два орла)
Б) Найдите вероятности элементарных исходов ОРРРО, РОООО.
Решение: При подбрасывании симметричной монеты вероятность выпадения орла \(P(О) = 0.5\) и вероятность выпадения решки \(P(Р) = 0.5\). Поскольку подбрасывания независимы, вероятность конкретной последовательности равна произведению вероятностей отдельных исходов. Для исхода ОРРРО: \(P(\text{ОРРРО}) = P(О) \times P(Р) \times P(Р) \times P(Р) \times P(О) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = (0.5)^5 = \frac{1}{32}\). Для исхода РОООО: \(P(\text{РОООО}) = P(Р) \times P(О) \times P(О) \times P(О) \times P(О) = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = (0.5)^5 = \frac{1}{32}\).
3. Напишите формулы, по которым следует находить вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «двойка» выпадет:
Используем формулу Бернулли для вероятности \(k\) успехов в \(n\) независимых испытаниях: \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\] где \(n\) - количество испытаний (бросаний), \(k\) - количество успехов (выпадений «двойки»), \(p\) - вероятность «успеха» в одном испытании. В данном случае: \(n = 4\) (четыре бросания кубика). «Успех» - выпадение «двойки». Вероятность выпадения «двойки» на одном кубике \(p = \frac{1}{6}\). Вероятность «неудачи» (не выпадение «двойки») \(1-p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
а) ровно два раза;
Решение: Здесь \(k = 2\). \[P_4(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2} = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2\] \[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\] \[P_4(2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{6 \cdot 25}{36 \cdot 36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}\]
б) ровно три раза;
Решение: Здесь \(k = 3\). \[P_4(3) = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-3} = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\] \[C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4\] \[P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4 \cdot 5}{216 \cdot 6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}\]
в) все четыре раза;
Решение: Здесь \(k = 4\). \[P_4(4) = C_4^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-4} = C_4^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0\] \[C_4^4 = 1\] \[P_4(4) = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}\]
г) не выпадет ни разу.
Решение: Здесь \(k = 0\). \[P_4(0) = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-0} = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\] \[C_4^0 = 1\] \[P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}\]
4. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность события:
Используем формулу Бернулли. \(n = 5\) (пять бросаний кости).
А) «тройка» выпала ровно один раз;
Решение: «Успех» - выпадение «тройки». Вероятность \(p = \frac{1}{6}\). «Неудача» - не выпадение «тройки». Вероятность \(1-p = \frac{5}{6}\). Количество успехов \(k = 1\). \[P_5(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-1} = C_5^1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\] \[C_5^1 = 5\] \[P_5(1) = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{5 \cdot 625}{6 \cdot 1296} = \frac{3125}{7776}\]
Б) «пятерка» выпала ровно 2 раза;
Решение: «Успех» - выпадение «пятерки». Вероятность \(p = \frac{1}{6}\). «Неудача» - не выпадение «пятерки». Вероятность \(1-p = \frac{5}{6}\). Количество успехов \(k = 2\). \[P_5(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-2} = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\] \[C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\] \[P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}\]
В) «двойка» выпала 1 или 2 раза.
Решение: «Успех» - выпадение «двойки». Вероятность \(p = \frac{1}{6}\). «Неудача» - не выпадение «двойки». Вероятность \(1-p = \frac{5}{6}\). Нужно найти вероятность, что «двойка» выпала ровно 1 раз ИЛИ ровно 2 раза. Это сумма вероятностей \(P_5(1)\) и \(P_5(2)\). \[P_5(1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}\] \[P_5(2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}\] \[P(\text{1 или 2 раза}) = P_5(1) + P_5(2) = \frac{3125}{7776} + \frac{1250}{7776} = \frac{4375}{7776}\]
5. Производится серия из 8 испытаний с вероятностью успеха \(p=0.6\). Что более вероятно в этой серии: ровно 3 успеха или ровно 4 успеха?
Решение: Используем формулу Бернулли. \(n = 8\) (количество испытаний). Вероятность успеха \(p = 0.6\). Вероятность неудачи \(1-p = 1 - 0.6 = 0.4\).
Найдем вероятность ровно 3 успехов (\(k=3\)): \[P_8(3) = C_8^3 \cdot p^3 \cdot (1-p)^{8-3} = C_8^3 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^5\] \[C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\] \[P_8(3) = 56 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^5 = 56 \cdot 0.216 \cdot 0.01024\] \[P_8(3) = 56 \cdot 0.00221184 = 0.12386304\]
Найдем вероятность ровно 4 успехов (\(k=4\)): \[P_8(4) = C_8^4 \cdot p^4 \cdot (1-p)^{8-4} = C_8^4 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^4\] \[C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\] \[P_8(4) = 70 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^4 = 70 \cdot 0.1296 \cdot 0.0256\] \[P_8(4) = 70 \cdot 0.00331776 = 0.232