Вот решения задач по физике, основанные на законе сохранения энергии.
Задача 1
Пружинное ружье выстреливает шариком массой 20 г. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если пружина сжата на 0,1 м, а жесткость пружины равна 400 Н/м?
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Масса шарика \(m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\) (переводим граммы в килограммы).
* Сжатие пружины \(x = 0,1 \text{ м}\).
* Жесткость пружины \(k = 400 \text{ Н/м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Что нужно найти:
* Максимальная высота подъема шарика \(h\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начальный момент вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии сжатой пружины. Когда пружина распрямляется, эта энергия передается шарику, превращаясь в его кинетическую энергию, а затем, по мере подъема шарика, в его потенциальную энергию высоты.
По закону сохранения энергии, потенциальная энергия пружины равна потенциальной энергии шарика на максимальной высоте:
\[E_{пружины} = E_{высоты}\]
Формула для потенциальной энергии пружины:
\[E_{пружины} = \frac{1}{2} k x^2\]
Формула для потенциальной энергии тела на высоте:
\[E_{высоты} = m g h\]
4. Приравняем эти энергии и выразим высоту \(h\):
\[\frac{1}{2} k x^2 = m g h\]
\[h = \frac{k x^2}{2 m g}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{400 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2}{2 \cdot 0,02 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h = \frac{400 \cdot 0,01}{0,04 \cdot 9,8}\]
\[h = \frac{4}{0,392}\]
\[h \approx 10,204 \text{ м}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(h \approx 10,20 \text{ м}\)
Задача 2
Мяч бросают с высоты 1500 см вертикально вниз со скоростью 8 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. На какую максимальную высоту поднимется мяч?
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Начальная высота \(h_1 = 1500 \text{ см} = 15 \text{ м}\) (переводим сантиметры в метры).
* Начальная скорость \(v_1 = 8 \text{ м/с}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
* Отталкивание абсолютно упругое, это означает, что энергия сохраняется.
2. Что нужно найти:
* Максимальная высота подъема мяча \(h_2\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начальный момент (перед броском) мяч обладает потенциальной энергией из-за высоты и кинетической энергией из-за начальной скорости.
\[E_{начальная} = E_{потенциальная1} + E_{кинетическая1} = m g h_1 + \frac{1}{2} m v_1^2\]
На максимальной высоте подъема (после отскока) вся энергия мяча будет потенциальной (кинетическая энергия равна нулю).
\[E_{конечная} = E_{потенциальная2} = m g h_2\]
Поскольку отталкивание абсолютно упругое, энергия сохраняется:
\[E_{начальная} = E_{конечная}\]
\[m g h_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = m g h_2\]
4. Сократим массу \(m\) (она есть в каждом слагаемом) и выразим \(h_2\):
\[g h_1 + \frac{1}{2} v_1^2 = g h_2\]
\[h_2 = h_1 + \frac{v_1^2}{2 g}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h_2 = 15 \text{ м} + \frac{(8 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h_2 = 15 + \frac{64}{19,6}\]
\[h_2 = 15 + 3,2653...\]
\[h_2 \approx 18,2653 \text{ м}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(h_2 \approx 18,27 \text{ м}\)
Задача 3
Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Найти его скорость перед столкновением с землей.
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Начальная скорость \(v_0 = 0 \text{ м/с}\) (падает без начальной скорости).
* Высота падения \(h = 20 \text{ м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Что нужно найти:
* Скорость тела перед столкновением с землей \(v\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начальный момент (на высоте 20 м) тело обладает только потенциальной энергией.
\[E_{начальная} = E_{потенциальная} = m g h\]
Перед столкновением с землей (на высоте 0 м) вся потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию.
\[E_{конечная} = E_{кинетическая} = \frac{1}{2} m v^2\]
По закону сохранения энергии:
\[E_{начальная} = E_{конечная}\]
\[m g h = \frac{1}{2} m v^2\]
4. Сократим массу \(m\) и выразим скорость \(v\):
\[g h = \frac{1}{2} v^2\]
\[v^2 = 2 g h\]
\[v = \sqrt{2 g h}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{19,6 \cdot 20}\]
\[v = \sqrt{392}\]
\[v \approx 19,7989... \text{ м/с}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(v \approx 19,80 \text{ м/с}\)
Задача 4
На какой высоте находилась воздушная цель, если для достижения этой высоты скорость снаряда, запущенного с поверхности Земли, была равна 300 м/с?
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Начальная скорость снаряда \(v_0 = 300 \text{ м/с}\) (с поверхности Земли).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
* На максимальной высоте скорость снаряда равна нулю.
2. Что нужно найти:
* Высота воздушной цели \(h\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начальный момент (на поверхности Земли) снаряд обладает только кинетической энергией.
\[E_{начальная} = E_{кинетическая} = \frac{1}{2} m v_0^2\]
На максимальной высоте (где скорость становится равной нулю) вся кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию.
\[E_{конечная} = E_{потенциальная} = m g h\]
По закону сохранения энергии:
\[E_{начальная} = E_{конечная}\]
\[\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h\]
4. Сократим массу \(m\) и выразим высоту \(h\):
\[\frac{1}{2} v_0^2 = g h\]
\[h = \frac{v_0^2}{2 g}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[h = \frac{(300 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h = \frac{90000}{19,6}\]
\[h \approx 4591,8367... \text{ м}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(h \approx 4591,84 \text{ м}\)
Задача 5
Мальчик подъезжает на самокате к спуску, скорость мальчика в начале спуска 4 м/с. Высота спуска 4,25 м. Найти скорость мальчика в конце спуска.
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Начальная скорость мальчика \(v_1 = 4 \text{ м/с}\).
* Высота спуска \(h = 4,25 \text{ м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
* Предполагаем, что трение отсутствует, и энергия сохраняется.
2. Что нужно найти:
* Скорость мальчика в конце спуска \(v_2\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начале спуска мальчик обладает как кинетической, так и потенциальной энергией.
\[E_{начальная} = E_{кинетическая1} + E_{потенциальная1} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g h\]
В конце спуска (на уровне земли, \(h=0\)) вся потенциальная энергия превращается в кинетическую.
\[E_{конечная} = E_{кинетическая2} = \frac{1}{2} m v_2^2\]
По закону сохранения энергии:
\[E_{начальная} = E_{конечная}\]
\[\frac{1}{2} m v_1^2 + m g h = \frac{1}{2} m v_2^2\]
4. Сократим массу \(m\) и выразим скорость \(v_2\):
\[\frac{1}{2} v_1^2 + g h = \frac{1}{2} v_2^2\]
Умножим все на 2:
\[v_1^2 + 2 g h = v_2^2\]
\[v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2 g h}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[v_2 = \sqrt{(4 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 4,25 \text{ м}}\]
\[v_2 = \sqrt{16 + 19,6 \cdot 4,25}\]
\[v_2 = \sqrt{16 + 83,3}\]
\[v_2 = \sqrt{99,3}\]
\[v_2 \approx 9,9649... \text{ м/с}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(v_2 \approx 9,96 \text{ м/с}\)
Задача 6
Мяч бросают с высоты 80 м вертикально вниз со скоростью 10 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. Найти его скорость на высоте 60 м.
Решение:
1. Запишем, что дано:
* Начальная высота \(h_1 = 80 \text{ м}\).
* Начальная скорость \(v_1 = 10 \text{ м/с}\).
* Конечная высота \(h_2 = 60 \text{ м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
* Отталкивание абсолютно упругое, это означает, что энергия сохраняется.
2. Что нужно найти:
* Скорость мяча на высоте 60 м \(v_2\).
3. Применим закон сохранения энергии.
В начальный момент (на высоте 80 м) мяч обладает потенциальной и кинетической энергией.
\[E_{начальная} = m g h_1 + \frac{1}{2} m v_1^2\]
На высоте 60 м мяч также обладает потенциальной и кинетической энергией.
\[E_{конечная} = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_2^2\]
По закону сохранения энергии:
\[E_{начальная} = E_{конечная}\]
\[m g h_1 + \frac{1}{2} m v_1^2 = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_2^2\]
4. Сократим массу \(m\) и выразим скорость \(v_2\):
\[g h_1 + \frac{1}{2} v_1^2 = g h_2 + \frac{1}{2} v_2^2\]
Умножим все на 2:
\[2 g h_1 + v_1^2 = 2 g h_2 + v_2^2\]
\[v_2^2 = 2 g h_1 + v_1^2 - 2 g h_2\]
\[v_2 = \sqrt{2 g (h_1 - h_2) + v_1^2}\]
5. Подставим значения и рассчитаем:
\[v_2 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (80 \text{ м} - 60 \text{ м}) + (10 \text{ м/с})^2}\]
\[v_2 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 20 + 100}\]
\[v_2 = \sqrt{19,6 \cdot 20 + 100}\]
\[v_2 = \sqrt{392 + 100}\]
\[v_2 = \sqrt{492}\]
\[v_2 \approx 22,1810... \text{ м/с}\]
6. Округлим ответ до сотых:
\(v_2 \approx 22,18 \text{ м/с}\)
