II вариант
1. В следующих испытаниях найдите вероятности «успеха» и «неудачи».
А) Бросают пару различных монет. «Успех» - выпадение двух орлов;
Решение:
При бросании двух монет возможны следующие исходы:
ОО (орел, орел)
ОР (орел, решка)
РО (решка, орел)
РР (решка, решка)
Всего 4 равновероятных исхода.
Событие «успех» - выпадение двух орлов (ОО) - происходит в 1 случае.
Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{1}{4}\).
Событие «неудача» - это все остальные исходы (ОР, РО, РР) - происходит в 3 случаях.
Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{3}{4}\).
Ответ: Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{1}{4}\), вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{3}{4}\).
Б) Бросают игральный кубик. «Неудача» - выпадение числа, кратного трем;
Решение:
При бросании игрального кубика возможны следующие исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Всего 6 равновероятных исходов.
Событие «неудача» - выпадение числа, кратного трем. Числа, кратные трем, это 3 и 6.
Количество исходов, приводящих к «неудаче», равно 2.
Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
Событие «успех» - это выпадение числа, не кратного трем (1, 2, 4, 5).
Количество исходов, приводящих к «успеху», равно 4.
Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Ответ: Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{2}{3}\), вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{1}{3}\).
В) Бросают пару различных кубиков. «Успех» - выпадение двух четных чисел;
Решение:
При бросании двух кубиков общее количество возможных исходов равно \(6 \times 6 = 36\).
Событие «успех» - выпадение двух четных чисел. Четные числа на кубике: 2, 4, 6.
Для первого кубика есть 3 четных исхода.
Для второго кубика есть 3 четных исхода.
Количество благоприятных исходов для «успеха» равно \(3 \times 3 = 9\).
Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\).
Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = 1 - P(\text{успех}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Ответ: Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{1}{4}\), вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{3}{4}\).
Г) Из 36 карт берут 7. «Неудача» - среди них нет дамы пик.
Решение:
Общее количество способов выбрать 7 карт из 36 равно числу сочетаний \(C_{36}^7\).
\[C_{n}^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] \[C_{36}^7 = \frac{36!}{7!(36-7)!} = \frac{36!}{7!29!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8347680\]Событие «неудача» - среди 7 выбранных карт нет дамы пик. Это означает, что все 7 карт выбраны из оставшихся 35 карт (36 карт минус дама пик).
Количество способов выбрать 7 карт без дамы пик равно \(C_{35}^7\).
\[C_{35}^7 = \frac{35!}{7!(35-7)!} = \frac{35!}{7!28!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6724520\]Вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{C_{35}^7}{C_{36}^7} = \frac{6724520}{8347680} = \frac{29}{36}\).
Вероятность «успеха» (среди 7 карт есть дама пик) \(P(\text{успех}) = 1 - P(\text{неудача}) = 1 - \frac{29}{36} = \frac{7}{36}\).
Ответ: Вероятность «успеха» \(P(\text{успех}) = \frac{7}{36}\), вероятность «неудачи» \(P(\text{неудача}) = \frac{29}{36}\).
2. Симметричную монету подбрасывают 5 раз.
А) Запишите два каких-нибудь элементарных исхода, благоприятствующих событию «выпало три решки»;
Решение:
Элементарный исход - это последовательность результатов 5 подбрасываний (например, ОРОРО).
Событие «выпало три решки» означает, что в последовательности из 5 результатов ровно 3 раза выпала решка (Р) и 2 раза орел (О).
Примеры таких исходов:
1. РРРОО (три решки подряд, затем два орла)
2. ОРРРО (орел, три решки, орел)
3. РОРРО (решка, орел, две решки, орел)
Ответ: Два элементарных исхода, благоприятствующих событию «выпало три решки», это, например, РРРОО и ОРРРО.
Б) Найдите вероятности элементарных исходов ОРРРО, РОООО.
Решение:
Для симметричной монеты вероятность выпадения орла (О) равна \(P(О) = \frac{1}{2}\), и вероятность выпадения решки (Р) равна \(P(Р) = \frac{1}{2}\).
Поскольку подбрасывания независимы, вероятность конкретной последовательности исходов равна произведению вероятностей каждого исхода.
Для исхода ОРРРО:
\[P(\text{ОРРРО}) = P(О) \times P(Р) \times P(Р) \times P(Р) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\]Для исхода РОООО:
\[P(\text{РОООО}) = P(Р) \times P(О) \times P(О) \times P(О) \times P(О) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\]Ответ: Вероятность элементарного исхода ОРРРО равна \(\frac{1}{32}\). Вероятность элементарного исхода РОООО равна \(\frac{1}{32}\).
3. Напишите формулы, по которым следует находить вероятность того, что при четырех бросаниях игрального кубика «двойка» выпадет:
Решение:
При бросании игрального кубика вероятность выпадения «двойки» (успех) равна \(p = \frac{1}{6}\).
Вероятность невыпадения «двойки» (неудача) равна \(q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
Количество бросаний \(n = 4\).
Для нахождения вероятности того, что событие произойдет \(k\) раз в \(n\) испытаниях, используется формула Бернулли:
\[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) - число сочетаний.
а) ровно два раза;
Формула:
Здесь \(k = 2\).
\[P_4(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2} = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2\]Расчет:
\[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\] \[P_4(2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{6 \times 25}{36 \times 36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}\]Ответ: \(P_4(2) = C_4^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2\).
б) ровно три раза;
Формула:
Здесь \(k = 3\).
\[P_4(3) = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-3} = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\]Расчет:
\[C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4\] \[P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}\]Ответ: \(P_4(3) = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\).
в) все четыре раза;
Формула:
Здесь \(k = 4\).
\[P_4(4) = C_4^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-4} = C_4^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0\]Поскольку \(C_4^4 = 1\) и \(\left(\frac{5}{6}\right)^0 = 1\), формула упрощается до:
\[P_4(4) = \left(\frac{1}{6}\right)^4\]Расчет:
\[P_4(4) = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}\]Ответ: \(P_4(4) = C_4^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0 = \left(\frac{1}{6}\right)^4\).
г) не выпадет ни разу.
Формула:
Здесь \(k = 0\).
\[P_4(0) = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4-0} = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\]Поскольку \(C_4^0 = 1\) и \(\left(\frac{1}{6}\right)^0 = 1\), формула упрощается до:
\[P_4(0) = \left(\frac{5}{6}\right)^4\]Расчет:
\[P_4(0) = \frac{5^4}{6^4} = \frac{625}{1296}\]Ответ: \(P_4(0) = C_4^0 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \left(\frac{5}{6}\right)^4\).
4. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность события:
Решение:
Количество бросаний \(n = 5\).
А) «тройка» выпала ровно один раз;
Решение:
Вероятность выпадения «тройки» (успех) \(p = \frac{1}{6}\).
Вероятность невыпадения «тройки» (неудача) \(q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
Нам нужно найти вероятность того, что «тройка» выпадет ровно 1 раз, то есть \(k = 1\).
Используем формулу Бернулли:
\[P_5(1) = C_5^1 \cdot p^1 \cdot q^{5-1} = C_5^1 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4\]Расчет:
\[C_5^1 = \frac{5!}{1