Задача: Равнобокая трапеция с хорошим углом
Основания равнобокой трапеции \(ABCD\) равны 15 и 11, острый угол равен 45°.
Найдите площадь трапеции.
Решение:
1. Запишем известные данные:
- Длинное основание \(b_1 = 15\).
- Короткое основание \(b_2 = 11\).
- Острый угол \(\alpha = 45^\circ\).
2. Вспомним формулу для нахождения площади трапеции:
Площадь трапеции \(S\) вычисляется по формуле:
\[S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h\]где \(b_1\) и \(b_2\) — длины оснований трапеции, \(h\) — высота трапеции.
Для использования этой формулы нам нужно найти высоту \(h\).
3. Найдем высоту \(h\) равнобокой трапеции:
Опустим высоты из вершин верхнего основания на нижнее основание. Пусть эти высоты делят нижнее основание на три отрезка. Крайние отрезки будут равны, так как трапеция равнобокая.
Длина каждого из этих крайних отрезков \(x\) вычисляется по формуле:
\[x = \frac{b_1 - b_2}{2}\]Подставим значения:
\[x = \frac{15 - 11}{2} = \frac{4}{2} = 2\]Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком \(x\). В этом треугольнике острый угол равен 45°.
В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны. Один катет — это \(x\), другой катет — это высота \(h\).
Значит, \(h = x\).
Следовательно, \(h = 2\).
(Можно также использовать тангенс: \(\tan(\alpha) = \frac{h}{x}\). Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(h = x \cdot \tan(45^\circ) = x \cdot 1 = x\). )
4. Подставим найденные значения в формулу площади трапеции:
\[S = \frac{15 + 11}{2} \cdot 2\]5. Выполним сложение в числителе:
\[S = \frac{26}{2} \cdot 2\]6. Выполним деление:
\[S = 13 \cdot 2\]7. Выполним умножение:
\[S = 26\]8. Запишем ответ:
Площадь трапеции равна 26.
Ответ: 26