Решение задачи: Радиоактивный распад урана-226

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: № 7 Дано: Масса ядра урана-226: \(m_{U} = 226,029339\) а.е.м. Масса ядра тория-222: \(m_{Th} = 222,018468\) а.е.м. Масса ядра гелия (альфа-частицы): \(m_{He} = 4,002603\) а.е.м. 1 а.е.м. \( = 1,66 \cdot 10^{-27}\) кг 1 МэВ \( = 1,602 \cdot 10^{-13}\) Дж Удельная теплоёмкость воды: \(c = 4,2\) кДж/(кг \( \cdot \) \(^{\circ}\)С) \( = 4200\) Дж/(кг \( \cdot \) \(^{\circ}\)С) Температура нагрева воды: \(\Delta T = 80^{\circ}\)С Количество урана: \(N_{U} = 1\) ммоль Найти: 1. Энергия радиоактивного распада \(E\) в МэВ (с точностью до десятых). 2. Масса воды \(m_{воды}\) в тоннах (с точностью до десятков). Решение: 1. Расчёт энергии радиоактивного распада. Сначала найдём дефект массы \(\Delta m\). Дефект массы — это разница между массой исходного ядра и суммой масс продуктов распада. \[\Delta m = m_{U} - (m_{Th} + m_{He})\] \[\Delta m = 226,029339 \text{ а.е.м.} - (222,018468 \text{ а.е.м.} + 4,002603 \text{ а.е.м.})\] \[\Delta m = 226,029339 \text{ а.е.м.} - 226,021071 \text{ а.е.м.}\] \[\Delta m = 0,008268 \text{ а.е.м.}\] Теперь переведём дефект массы в килограммы: \[\Delta m_{кг} = 0,008268 \text{ а.е.м.} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг/а.е.м.}\] \[\Delta m_{кг} = 1,372588 \cdot 10^{-29} \text{ кг}\] Энергия распада \(E\) рассчитывается по формуле Эйнштейна: \(E = \Delta m \cdot c^2\), где \(c\) — скорость света в вакууме, \(c \approx 3 \cdot 10^8\) м/с. \[E = 1,372588 \cdot 10^{-29} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2\] \[E = 1,372588 \cdot 10^{-29} \text{ кг} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ м}^2/\text{с}^2\] \[E = 12,353292 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}\] Теперь переведём энергию в МэВ, используя данное соотношение: 1 МэВ \( = 1,602 \cdot 10^{-13}\) Дж. \[E_{МэВ} = \frac{12,353292 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/МэВ}}\] \[E_{МэВ} \approx 7,7111685 \text{ МэВ}\] Округлим до десятых: \[E_{МэВ} \approx 7,7 \text{ МэВ}\] Ответ к пункту 1: 7,7 2. Расчёт массы воды, которую можно нагреть. Сначала найдём полную энергию, выделяющуюся при распаде 1 ммоль \(^{226}U\). 1 ммоль \(^{226}U\) содержит \(N_A\) ядер, где \(N_A\) — число Авогадро, \(N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}\) моль\(^{-1}\). Так как 1 ммоль \( = 10^{-3}\) моль, то количество ядер в 1 ммоль: \[N = 10^{-3} \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 6,022 \cdot 10^{20} \text{ ядер}\] Полная энергия \(E_{общая}\), выделяющаяся при распаде 1 ммоль урана: \[E_{общая} = E \cdot N\] Мы используем энергию в Джоулях, рассчитанную ранее: \(E = 12,353292 \cdot 10^{-13}\) Дж. \[E_{общая} = 12,353292 \cdot 10^{-13} \text{ Дж/ядро} \cdot 6,022 \cdot 10^{20} \text{ ядер}\] \[E_{общая} = 74,3899 \cdot 10^7 \text{ Дж}\] \[E_{общая} = 7,43899 \cdot 10^8 \text{ Дж}\] Эта энергия полностью превращается в теплоту, которая идёт на нагрев воды. Количество теплоты \(Q\), необходимое для нагрева воды, рассчитывается по формуле: \(Q = m_{воды} \cdot c \cdot \Delta T\). Приравниваем \(E_{общая}\) к \(Q\): \[E_{общая} = m_{воды} \cdot c \cdot \Delta T\] Выразим массу воды \(m_{воды}\): \[m_{воды} = \frac{E_{общая}}{c \cdot \Delta T}\] Подставим значения: \[m_{воды} = \frac{7,43899 \cdot 10^8 \text{ Дж}}{4200 \text{ Дж/(кг} \cdot ^{\circ}\text{С)} \cdot 80^{\circ}\text{С}}\] \[m_{воды} = \frac{7,43899 \cdot 10^8 \text{ Дж}}{336000 \text{ Дж/кг}}\] \[m_{воды} \approx 2213985,119 \text{ кг}\] Переведём массу воды в тонны (1 тонна \( = 1000\) кг): \[m_{воды, тонны} = \frac{2213985,119 \text{ кг}}{1000 \text{ кг/тонна}}\] \[m_{воды, тонны} \approx 2213,985119 \text{ тонн}\] Округлим до десятков: \[m_{воды, тонны} \approx 2210 \text{ тонн}\] Ответ к пункту 2: 2210 Ответы: 1. 7,7 2. 2210