Решение контрольной работы №3. Вариант 4: Показательные уравнения и неравенства

Хорошо, давайте решим эту контрольную работу по теме "Показательные уравнения и неравенства". Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 4. 1. Вычислить: \(12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}}\) Решение: Для начала, перепишем все числа в виде степеней с одинаковым показателем, если это возможно, или преобразуем их. Заметим, что все показатели степени равны \(\frac{1}{3}\) или \(\frac{2}{3}\). Мы можем использовать свойство \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). \[12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}} = 12^{\frac{1}{3}} \cdot (6^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}}\] \[= 12^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}}\] Теперь у всех множителей одинаковый показатель степени \(\frac{1}{3}\). \[= (12 \cdot 36 \cdot 0,5)^{\frac{1}{3}}\] Вычислим произведение в скобках: \[12 \cdot 36 \cdot 0,5 = 12 \cdot (36 \cdot \frac{1}{2}) = 12 \cdot 18\] \[12 \cdot 18 = 216\] Теперь подставим это значение обратно: \[= (216)^{\frac{1}{3}}\] Нам нужно найти кубический корень из 216. Мы знаем, что \(6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216\). Значит, \((216)^{\frac{1}{3}} = 6\). Ответ: 6 2. Решить уравнения: А) \((\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}\) Решение: Используем свойство \(a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x\). \[(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = \frac{1}{6}\] \[(\sqrt{12 \cdot 3})^x = \frac{1}{6}\] \[(\sqrt{36})^x = \frac{1}{6}\] \[6^x = \frac{1}{6}\] Мы знаем, что \(\frac{1}{6} = 6^{-1}\). \[6^x = 6^{-1}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[x = -1\] Ответ: \(x = -1\) Б) \(7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57\) Решение: Вынесем общий множитель \(7^{2x+1}\) за скобки. \[7^{2x+1} + 7^{2x+1} \cdot 7^1 + 7^{2x+1} \cdot 7^2 = 57\] \[7^{2x+1} (1 + 7^1 + 7^2) = 57\] Вычислим сумму в скобках: \[1 + 7 + 49 = 57\] Подставим это значение обратно: \[7^{2x+1} \cdot 57 = 57\] Разделим обе части уравнения на 57 (так как \(57 \neq 0\)): \[7^{2x+1} = \frac{57}{57}\] \[7^{2x+1} = 1\] Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). \[7^{2x+1} = 7^0\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[2x+1 = 0\] \[2x = -1\] \[x = -\frac{1}{2}\] Ответ: \(x = -\frac{1}{2}\) В) \(4^{x+1} - 6^x - 2 \cdot 9^{x+1} = 0\) Решение: Перепишем степени с основаниями 2 и 3. \[(2^2)^{x+1} - (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^2)^{x+1} = 0\] \[2^{2(x+1)} - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2(x+1)} = 0\] \[2^{2x+2} - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x+2} = 0\] \[2^{2x} \cdot 2^2 - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2 = 0\] \[4 \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 9 \cdot (3^x)^2 = 0\] \[4 \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot 3^x - 18 \cdot (3^x)^2 = 0\] Это однородное показательное уравнение. Разделим все члены уравнения на \((3^x)^2\) (так как \(3^x \neq 0\)). \[\frac{4 \cdot (2^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - \frac{18 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0\] \[4 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - \frac{2^x}{3^x} - 18 = 0\] \[4 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 18 = 0\] Сделаем замену переменной. Пусть \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\). Заметим, что \(t > 0\). \[4t^2 - t - 18 = 0\] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. \[D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18)\] \[D = 1 - 16 \cdot (-18)\] \[D = 1 + 288\] \[D = 289\] \[\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\] Найдем корни \(t\): \[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 17}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 17}{8} = \frac{-16}{8} = -2\] Так как \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\) и \(t > 0\), то \(t_2 = -2\) не подходит. Используем \(t_1 = \frac{9}{4}\). \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}\] Мы знаем, что \(\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\). \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2\] Чтобы основания были одинаковыми, используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^2\] \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[x = -2\] Ответ: \(x = -2\) 3. Решить неравенства: А) \(10^{2x-5} \le \frac{1}{100000}\) Решение: Перепишем правую часть неравенства в виде степени с основанием 10. \[\frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}\] Теперь неравенство выглядит так: \[10^{2x-5} \le 10^{-5}\] Так как основание степени \(10 > 1\), то при сравнении показателей степени знак неравенства сохраняется. \[2x-5 \le -5\] Прибавим 5 к обеим частям неравенства: \[2x \le -5 + 5\] \[2x \le 0\] Разделим обе части на 2: \[x \le 0\] Ответ: \(x \le 0\) или в интервальной записи \((-\infty; 0]\) Б) \(0,3^{x^2-4} \ge 1\) Решение: Перепишем правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3. Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). \[1 = 0,3^0\] Теперь неравенство выглядит так: \[0,3^{x^2-4} \ge 0,3^0\] Так как основание степени \(0 < 0,3 < 1\), то при сравнении показателей степени знак неравенства меняется на противоположный. \[x^2-4 \le 0\] Разложим левую часть на множители как разность квадратов: \[(x-2)(x+2) \le 0\] Найдем корни квадратного трехчлена: \(x-2=0 \Rightarrow x=2\) и \(x+2=0 \Rightarrow x=-2\). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Она принимает неположительные значения между своими корнями. Значит, решение неравенства: \[-2 \le x \le 2\] Ответ: \(-2 \le x \le 2\) или в интервальной записи \([-2; 2]\) 4. Решить систему уравнений: \[\begin{cases} 64^{x-3y} = 8 \\ 12x + y = 2 \end{cases}\] Решение: Сначала упростим первое уравнение. Мы знаем, что \(64 = 8^2\). \[(8^2)^{x-3y} = 8^1\] \[8^{2(x-3y)} = 8^1\] \[8^{2x-6y} = 8^1\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[2x-6y = 1\] Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[\begin{cases} 2x-6y = 1 \\ 12x + y = 2 \end{cases}\] Выразим \(y\) из второго уравнения: \[y = 2 - 12x\] Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \[2x - 6(2 - 12x) = 1\] Раскроем скобки: \[2x - 12 + 72x = 1\] Соберем члены с \(x\) и константы: \[(2x + 72x) - 12 = 1\] \[74x - 12 = 1\] Прибавим 12 к обеим частям: \[74x = 1 + 12\] \[74x = 13\] Разделим на 74: \[x = \frac{13}{74}\] Теперь найдем \(y\), подставив значение \(x\) в выражение для \(y\): \[y = 2 - 12x\] \[y = 2 - 12 \cdot \frac{13}{74}\] Сократим 12 и 74 на 2: \[y = 2 - 6 \cdot \frac{13}{37}\] \[y = 2 - \frac{78}{37}\] Приведем к общему знаменателю: \[y = \frac{2 \cdot 37}{37} - \frac{78}{37}\] \[y = \frac{74}{37} - \frac{78}{37}\] \[y = \frac{74 - 78}{37}\] \[y = \frac{-4}{37}\] Ответ: \(\left(\frac{13}{74}; -\frac{4}{37}\right)\) Надеюсь, это решение будет удобно переписать в тетрадь!