Решение: 12^(1/3) * 6^(2/3) * 0.5^(1/3) - Контрольная работа №3

Хорошо, давайте решим эту контрольную работу по порядку. Контрольная работа №3 Тема: Показательные уравнения и неравенства. Вариант 4. 1. Вычислить: \(12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}}\) Решение: Для начала, перепишем все числа в виде степеней с одинаковым показателем, если это возможно, или преобразуем их. Заметим, что все показатели степени равны \(\frac{1}{3}\) или \(\frac{2}{3}\). Мы можем использовать свойство \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). \[12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 0,5^{\frac{1}{3}}\] Перепишем \(6^{\frac{2}{3}}\) как \((6^2)^{\frac{1}{3}} = 36^{\frac{1}{3}}\). Также \(0,5 = \frac{1}{2}\). Тогда выражение примет вид: \[12^{\frac{1}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\] Теперь мы можем объединить множители под одним показателем степени \(\frac{1}{3}\): \[\left(12 \cdot 36 \cdot \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\] Выполним умножение внутри скобок: \[\left(\frac{12 \cdot 36}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\] \[\left(6 \cdot 36\right)^{\frac{1}{3}}\] \[\left(216\right)^{\frac{1}{3}}\] Теперь найдем кубический корень из 216. Мы знаем, что \(6^3 = 216\). \[\sqrt[3]{216} = 6\] Ответ: 6. 2. Решить уравнения: А) \((\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}\) Решение: Используем свойство \(a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x\). \[(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = \frac{1}{6}\] \[(\sqrt{12 \cdot 3})^x = \frac{1}{6}\] \[(\sqrt{36})^x = \frac{1}{6}\] \[6^x = \frac{1}{6}\] Мы знаем, что \(\frac{1}{6} = 6^{-1}\). \[6^x = 6^{-1}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[x = -1\] Ответ: \(x = -1\). Б) \(7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} = 57\) Решение: Вынесем общий множитель \(7^{2x+1}\) за скобки. \[7^{2x+1} + 7^{2x+1} \cdot 7^1 + 7^{2x+1} \cdot 7^2 = 57\] \[7^{2x+1} (1 + 7^1 + 7^2) = 57\] \[7^{2x+1} (1 + 7 + 49) = 57\] \[7^{2x+1} (57) = 57\] Разделим обе части уравнения на 57: \[7^{2x+1} = \frac{57}{57}\] \[7^{2x+1} = 1\] Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). \[7^{2x+1} = 7^0\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[2x+1 = 0\] \[2x = -1\] \[x = -\frac{1}{2}\] Ответ: \(x = -\frac{1}{2}\). В) \(4^{x+1} - 6^x - 2 \cdot 9^{x+1} = 0\) Решение: Перепишем степени с основаниями 4, 6, 9 как степени с основаниями 2 и 3. \(4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot (2^x)^2\) \(6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x\) \(9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2\) Подставим эти выражения в уравнение: \[4 \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 9 \cdot (3^x)^2 = 0\] \[4 \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot 3^x - 18 \cdot (3^x)^2 = 0\] Это однородное показательное уравнение. Разделим все члены уравнения на \((3^x)^2\), предполагая, что \(3^x \neq 0\), что всегда верно. \[\frac{4 \cdot (2^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - \frac{18 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0\] \[4 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - \frac{2^x}{3^x} - 18 = 0\] \[4 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^x - 18 = 0\] Сделаем замену переменной. Пусть \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\). Заметим, что \(t > 0\). Уравнение примет вид квадратного: \[4t^2 - t - 18 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). \(a=4\), \(b=-1\), \(c=-18\). \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18)\] \[D = 1 + 16 \cdot 18\] \[D = 1 + 288\] \[D = 289\] \[\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17\] Найдем корни \(t\): \[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[t_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 17}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\] \[t_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 17}{8} = \frac{-16}{8} = -2\] Так как \(t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\) и \(t > 0\), то \(t_2 = -2\) не подходит. Используем \(t_1 = \frac{9}{4}\): \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{9}{4}\] Мы знаем, что \(\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\). \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^2\] Чтобы основания были одинаковыми, используем свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^2\] \[\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[x = -2\] Ответ: \(x = -2\). 3. Решить неравенства: А) \(10^{2x-5} \le \frac{1}{1000000}\) Решение: Перепишем правую часть неравенства как степень числа 10. \[\frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}\] Неравенство примет вид: \[10^{2x-5} \le 10^{-6}\] Так как основание степени \(10 > 1\), то функция \(y = 10^x\) является возрастающей. Это означает, что при сравнении показателей степени знак неравенства сохраняется. \[2x-5 \le -6\] \[2x \le -6 + 5\] \[2x \le -1\] \[x \le -\frac{1}{2}\] Ответ: \(x \le -\frac{1}{2}\) или \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}]\). Б) \(0,3^{x^2-4} \ge 1\) Решение: Перепишем правую часть неравенства как степень числа 0,3. Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0). \[1 = 0,3^0\] Неравенство примет вид: \[0,3^{x^2-4} \ge 0,3^0\] Так как основание степени \(0,3\) находится в интервале \(0 < 0,3 < 1\), то функция \(y = 0,3^x\) является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей степени знак неравенства меняется на противоположный. \[x^2-4 \le 0\] Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2-4=0\). \[x^2 = 4\] \[x = \pm \sqrt{4}\] \[x_1 = -2, \quad x_2 = 2\] Парабола \(y = x^2-4\) ветвями направлена вверх. Значения \(x^2-4\) будут меньше или равны нулю между корнями. \[-2 \le x \le 2\] Ответ: \(-2 \le x \le 2\) или \(x \in [-2; 2]\). 4. Решить систему уравнений: \[\begin{cases} 64^{x-3y} = 8 \\ 12x + y = 2 \end{cases}\] Решение: Преобразуем первое уравнение, чтобы основания степеней были одинаковыми. Мы знаем, что \(64 = 8^2\). \[(8^2)^{x-3y} = 8^1\] \[8^{2(x-3y)} = 8^1\] Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны. \[2(x-3y) = 1\] \[2x - 6y = 1\] Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: \[\begin{cases} 2x - 6y = 1 \\ 12x + y = 2 \end{cases}\] Выразим \(y\) из второго уравнения: \[y = 2 - 12x\] Подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение: \[2x - 6(2 - 12x) = 1\] \[2x - 12 + 72x = 1\] \[74x - 12 = 1\] \[74x = 1 + 12\] \[74x = 13\] \[x = \frac{13}{74}\] Теперь найдем значение \(y\), подставив \(x = \frac{13}{74}\) в выражение для \(y\): \[y = 2 - 12 \cdot \frac{13}{74}\] Сократим 12 и 74 на 2: \[y = 2 - \frac{6 \cdot 13}{37}\] \[y = 2 - \frac{78}{37}\] Приведем к общему знаменателю: \[y = \frac{2 \cdot 37}{37} - \frac{78}{37}\] \[y = \frac{74 - 78}{37}\] \[y = \frac{-4}{37}\] Ответ: \(\left(\frac{13}{74}; -\frac{4}{37}\right)\).