Задание II В.
Уравнение 1
Дано уравнение:
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{2x-1}{x+4} \]Для начала, определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] \[ x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \]Теперь перемножим крест-накрест:
\[ x(x+4) = (2x-1)(x+2) \]Раскроем скобки:
\[ x^2 + 4x = 2x^2 + 4x - x - 2 \] \[ x^2 + 4x = 2x^2 + 3x - 2 \]Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ 0 = 2x^2 - x^2 + 3x - 4x - 2 \] \[ 0 = x^2 - x - 2 \]Решим квадратное уравнение \(x^2 - x - 2 = 0\) с помощью дискриминанта. Общая формула для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) и дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-2\).
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) \] \[ D = 1 + 8 \] \[ D = 9 \]Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]Оба корня \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -1\) удовлетворяют ОДЗ (\(x \neq -2\) и \(x \neq -4\)).
Ответ:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = -1 \]Уравнение 2
Дано уравнение:
\[ \frac{3}{x} + \frac{33}{x^2-11x} = \frac{x-4}{x-11} \]Сначала разложим знаменатель \(x^2-11x\) на множители:
\[ x^2-11x = x(x-11) \]Перепишем уравнение:
\[ \frac{3}{x} + \frac{33}{x(x-11)} = \frac{x-4}{x-11} \]Определим ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:
\[ x \neq 0 \] \[ x-11 \neq 0 \Rightarrow x \neq 11 \]Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен \(x(x-11)\). Для этого умножим первую дробь на \(\frac{x-11}{x-11}\) и третью дробь на \(\frac{x}{x}\):
\[ \frac{3(x-11)}{x(x-11)} + \frac{33}{x(x-11)} = \frac{(x-4)x}{x(x-11)} \]Теперь, когда знаменатели одинаковые, мы можем приравнять числители:
\[ 3(x-11) + 33 = (x-4)x \]Раскроем скобки:
\[ 3x - 33 + 33 = x^2 - 4x \] \[ 3x = x^2 - 4x \]Перенесем все члены в одну сторону:
\[ 0 = x^2 - 4x - 3x \] \[ 0 = x^2 - 7x \]Вынесем \(x\) за скобки:
\[ x(x-7) = 0 \]Это уравнение имеет два решения:
\[ x_1 = 0 \] \[ x-7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7 \]Проверим эти решения по ОДЗ. Мы знаем, что \(x \neq 0\) и \(x \neq 11\).
Корень \(x_1 = 0\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он не является решением.
Корень \(x_2 = 7\) удовлетворяет ОДЗ.
Ответ:
\[ x = 7 \]Уравнение 3
Дано уравнение:
\[ \frac{x^2-x}{x^2-x+1} - \frac{x^2-x+2}{x^2-x-2} = 1 \]Для упрощения введем замену переменной. Пусть \(y = x^2-x\).
Тогда уравнение примет вид:
\[ \frac{y}{y+1} - \frac{y+2}{y-2} = 1 \]Определим ОДЗ для \(y\):
\[ y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1 \] \[ y-2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2 \]Приведем дроби к общему знаменателю \((y+1)(y-2)\):
\[ \frac{y(y-2)}{(y+1)(y-2)} - \frac{(y+2)(y+1)}{(y+1)(y-2)} = 1 \]Теперь умножим обе части уравнения на общий знаменатель \((y+1)(y-2)\):
\[ y(y-2) - (y+2)(y+1) = 1 \cdot (y+1)(y-2) \]Раскроем скобки:
\[ y^2 - 2y - (y^2 + y + 2y + 2) = y^2 - 2y + y - 2 \] \[ y^2 - 2y - (y^2 + 3y + 2) = y^2 - y - 2 \] \[ y^2 - 2y - y^2 - 3y - 2 = y^2 - y - 2 \] \[ -5y - 2 = y^2 - y - 2 \]Перенесем все члены в одну сторону:
\[ 0 = y^2 - y + 5y - 2 + 2 \] \[ 0 = y^2 + 4y \]Вынесем \(y\) за скобки:
\[ y(y+4) = 0 \]Это уравнение имеет два решения для \(y\):
\[ y_1 = 0 \] \[ y+4 = 0 \Rightarrow y_2 = -4 \]Проверим эти значения \(y\) по ОДЗ. Оба значения \(y_1 = 0\) и \(y_2 = -4\) удовлетворяют ОДЗ (\(y \neq -1\) и \(y \neq 2\)).
Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), используя замену \(y = x^2-x\).
Случай 1: \(y_1 = 0\)
\[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x-1) = 0 \]Это дает два решения для \(x\):
\[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = 1 \]Случай 2: \(y_2 = -4\)
\[ x^2 - x = -4 \] \[ x^2 - x + 4 = 0 \]Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь \(a=1\), \(b=-1\), \(c=4\).
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \] \[ D = 1 - 16 \] \[ D = -15 \]Так как дискриминант \(D < 0\), это квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, единственные действительные решения для \(x\) - это \(0\) и \(1\).
Ответ:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 1 \]