Задача 1.
Вычислить неопределенный интеграл:
\[ \int \left( \sqrt{x} + 2x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx \]Решение:
Для решения этого интеграла воспользуемся свойствами линейности интеграла и табличными интегралами. Перепишем слагаемые в степенном виде:
\[ \int \left( x^{\frac{1}{2}} + 2x^2 - x^{-2} \right) dx \]Теперь проинтегрируем каждое слагаемое отдельно, используя формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
\[ \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_1 = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_1 \] \[ \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = 2 \frac{x^3}{3} + C_2 = \frac{2}{3} x^3 + C_2 \] \[ \int -x^{-2} dx = - \int x^{-2} dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_3 = - \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = x^{-1} + C_3 = \frac{1}{x} + C_3 \]Складываем полученные результаты и объединяем константы интегрирования в одну \( C \):
\[ \int \left( \sqrt{x} + 2x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{x} + C \]Ответ:
\[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{x} + C \]Задача 2.
Вычислить неопределенный интеграл:
\[ \int \frac{x \, dx}{(1+5x^2)^2} \]Решение:
Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \( u = 1+5x^2 \). Тогда найдем дифференциал \( du \):
\[ du = (1+5x^2)' dx = (0 + 5 \cdot 2x) dx = 10x \, dx \]Из этого выражения выразим \( x \, dx \):
\[ x \, dx = \frac{1}{10} du \]Теперь подставим \( u \) и \( x \, dx \) в исходный интеграл:
\[ \int \frac{1}{(u)^2} \cdot \frac{1}{10} du = \frac{1}{10} \int u^{-2} du \]Проинтегрируем \( u^{-2} \) по формуле \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \):
\[ \frac{1}{10} \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{10} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{10} u^{-1} + C = -\frac{1}{10u} + C \]Теперь подставим обратно \( u = 1+5x^2 \):
\[ -\frac{1}{10(1+5x^2)} + C \]Ответ:
\[ -\frac{1}{10(1+5x^2)} + C \]Задача 3.
Вычислить определенный интеграл:
\[ \int_0^1 x \cos(4x) dx \]Решение:
Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).
Выберем \( u \) и \( dv \):
Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \).
Пусть \( dv = \cos(4x) dx \). Тогда найдем \( v \), интегрируя \( dv \):
\[ v = \int \cos(4x) dx \]Для этого интеграла сделаем замену \( t = 4x \), тогда \( dt = 4 dx \), или \( dx = \frac{1}{4} dt \):
\[ v = \int \cos(t) \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int \cos(t) dt = \frac{1}{4} \sin(t) \]Возвращаемся к \( x \): \( v = \frac{1}{4} \sin(4x) \).
Теперь подставим \( u, v, du, dv \) в формулу интегрирования по частям:
\[ \int x \cos(4x) dx = x \cdot \frac{1}{4} \sin(4x) - \int \frac{1}{4} \sin(4x) dx \] \[ = \frac{x}{4} \sin(4x) - \frac{1}{4} \int \sin(4x) dx \]Интегрируем \( \int \sin(4x) dx \). Снова используем замену \( t = 4x \), \( dx = \frac{1}{4} dt \):
\[ \int \sin(4x) dx = \int \sin(t) \frac{1}{4} dt = \frac{1}{4} \int \sin(t) dt = \frac{1}{4} (-\cos(t)) = -\frac{1}{4} \cos(4x) \]Подставляем это обратно:
\[ \int x \cos(4x) dx = \frac{x}{4} \sin(4x) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4} \cos(4x) \right) + C \] \[ = \frac{x}{4} \sin(4x) + \frac{1}{16} \cos(4x) + C \]Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
\[ \int_0^1 x \cos(4x) dx = \left[ \frac{x}{4} \sin(4x) + \frac{1}{16} \cos(4x) \right]_0^1 \]Подставляем верхний предел (1):
\[ \frac{1}{4} \sin(4 \cdot 1) + \frac{1}{16} \cos(4 \cdot 1) = \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) \]Подставляем нижний предел (0):
\[ \frac{0}{4} \sin(4 \cdot 0) + \frac{1}{16} \cos(4 \cdot 0) = 0 \cdot \sin(0) + \frac{1}{16} \cos(0) = 0 + \frac{1}{16} \cdot 1 = \frac{1}{16} \]Вычитаем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:
\[ \left( \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) \right) - \frac{1}{16} \]Ответ:
\[ \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) - \frac{1}{16} \]Задача 4.
Вычислить определенный интеграл:
\[ \int_{-1}^0 x e^{-2x} dx \]Решение:
Для решения этого интеграла также воспользуемся методом интегрирования по частям: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \).
Выберем \( u \) и \( dv \):
Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \).
Пусть \( dv = e^{-2x} dx \). Тогда найдем \( v \), интегрируя \( dv \):
\[ v = \int e^{-2x} dx \]Для этого интеграла сделаем замену \( t = -2x \), тогда \( dt = -2 dx \), или \( dx = -\frac{1}{2} dt \):
\[ v = \int e^t \left( -\frac{1}{2} \right) dt = -\frac{1}{2} \int e^t dt = -\frac{1}{2} e^t \]Возвращаемся к \( x \): \( v = -\frac{1}{2} e^{-2x} \).
Теперь подставим \( u, v, du, dv \) в формулу интегрирования по частям:
\[ \int x e^{-2x} dx = x \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) dx \] \[ = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx \]Мы уже знаем, что \( \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \). Подставляем это:
\[ = -\frac{x}{2} e^{-2x} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) + C \] \[ = -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C \]Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
\[ \int_{-1}^0 x e^{-2x} dx = \left[ -\frac{x}{2} e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_{-1}^0 \]Подставляем верхний предел (0):
\[ -\frac{0}{2} e^{-2 \cdot 0} - \frac{1}{4} e^{-2 \cdot 0} = 0 - \frac{1}{4} e^0 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4} \]Подставляем нижний предел (-1):
\[ -\frac{(-1)}{2} e^{-2 \cdot (-1)} - \frac{1}{4} e^{-2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{4} e^2 \] \[ = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) e^2 = \left( \frac{2}{4} - \frac{1}{4} \right) e^2 = \frac{1}{4} e^2 \]Вычитаем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:
\[ -\frac{1}{4} - \left( \frac{1}{4} e^2 \right) = -\frac{1}{4} - \frac{e^2}{4} \]Ответ:
\[ -\frac{1}{4} - \frac{e^2}{4} = -\frac{1+e^2}{4} \]Задача 5.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
\[ y = x^2 + 2x \] \[ y = x+2 \]Решение:
Сначала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их выражения для \( y \):
\[ x^2 + 2x = x+2 \]Перенесем все слагаемые в левую часть и приравняем к нулю:
\[ x^2 + 2x - x - 2 = 0 \] \[ x^2 + x - 2 = 0 \]Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или разложить на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это 2 и -1.
\[ (x+2)(x-1) = 0 \]Отсюда получаем корни:
\[ x_1 = -2 \] \[ x_2 = 1 \]Эти значения \( x \) являются пределами интегрирования.
Теперь определим, какая функция находится выше на интервале \( [-2, 1] \). Выберем тестовую точку, например, \( x=0 \):
Для \( y = x^2 + 2x \): \( y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 \)
Для \( y = x+2 \): \( y(0) = 0+2 = 2 \)
Так как \( 2 > 0 \), то на интервале \( [-2, 1] \) функция \( y = x+2 \) находится выше функции \( y = x^2 + 2x \).
Площадь \( S \) фигуры будет равна определенному интегралу от разности верхней и нижней функций по найденным пределам:
\[ S = \int_{-2}^1 ((x+2) - (x^2+2x)) dx \] \[ S = \int_{-2}^1 (x+2 - x^2 - 2x) dx \] \[ S = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) dx \]Теперь вычислим этот интеграл:
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^1 \]Подставляем верхний предел (1):
\[ \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \]Приведем к общему знаменателю (6):
\[ = -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} = \frac{-2-3+12}{6} = \frac{7}{6} \]Подставляем нижний предел (-2):
\[ \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \] \[ = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 \]Приведем к общему знаменателю (3):
\[ = \frac{8}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{10}{3} \]Вычитаем значение при нижнем пределе из значения при верхнем пределе:
\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]Приведем к общему знаменателю (6):
\[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \]Сократим дробь:
\[ S = \frac{9}{2} \]Ответ:
\[ S = \frac{9}{2} \]