Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
Задача 1
Найти неопределенный интеграл:
\[ \int \left( \sqrt{x} + 2x^2 - \frac{1}{x^2} \right) dx \]
Решение:
Разделим интеграл на сумму (или разность) отдельных интегралов:
\[ \int \sqrt{x} \, dx + \int 2x^2 \, dx - \int \frac{1}{x^2} \, dx \]
Перепишем функции в степенном виде:
\[ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx + 2 \int x^2 \, dx - \int x^{-2} \, dx \]
Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):
\[ \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \frac{x^{2+1}}{2+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C \]
\[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2 \frac{x^3}{3} - \frac{x^{-1}}{-1} + C \]
Упростим выражение:
\[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} x^3 + x^{-1} + C \]
Или, если записать в виде корней и дробей:
\[ \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{x} + C \]
Ответ:
\[ \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + \frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{x} + C \]
Задача 2
Найти неопределенный интеграл:
\[ \int \frac{x \, dx}{(1+5x^2)^2} \]
Решение:
Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной.
Пусть \( u = 1+5x^2 \).
Тогда найдем дифференциал \( du \):
\[ du = (1+5x^2)' \, dx \]
\[ du = (0 + 5 \cdot 2x) \, dx \]
\[ du = 10x \, dx \]
Из этого выражения выразим \( x \, dx \):
\[ x \, dx = \frac{1}{10} du \]
Теперь подставим \( u \) и \( x \, dx \) в исходный интеграл:
\[ \int \frac{\frac{1}{10} du}{u^2} \]
Вынесем константу за знак интеграла:
\[ \frac{1}{10} \int \frac{1}{u^2} \, du \]
Перепишем \( \frac{1}{u^2} \) как \( u^{-2} \):
\[ \frac{1}{10} \int u^{-2} \, du \]
Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \):
\[ \frac{1}{10} \cdot \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C \]
\[ \frac{1}{10} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C \]
\[ -\frac{1}{10} u^{-1} + C \]
Заменим \( u \) обратно на \( 1+5x^2 \):
\[ -\frac{1}{10(1+5x^2)} + C \]
Ответ:
\[ -\frac{1}{10(1+5x^2)} + C \]
Задача 3
Найти определенный интеграл:
\[ \int_0^1 x \cos(4x) \, dx \]
Решение:
Для решения этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
Выберем \( u \) и \( dv \):
Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \).
Пусть \( dv = \cos(4x) \, dx \), тогда \( v = \int \cos(4x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x) \).
Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:
\[ \int x \cos(4x) \, dx = x \cdot \frac{1}{4} \sin(4x) - \int \frac{1}{4} \sin(4x) \, dx \]
\[ = \frac{1}{4} x \sin(4x) - \frac{1}{4} \int \sin(4x) \, dx \]
Интегрируем \( \int \sin(4x) \, dx \):
\[ \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) \]
Подставляем обратно:
\[ = \frac{1}{4} x \sin(4x) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4} \cos(4x) \right) + C \]
\[ = \frac{1}{4} x \sin(4x) + \frac{1}{16} \cos(4x) + C \]
Теперь вычислим определенный интеграл, используя пределы от 0 до 1:
\[ \left[ \frac{1}{4} x \sin(4x) + \frac{1}{16} \cos(4x) \right]_0^1 \]
Подставим верхний предел (1):
\[ \left( \frac{1}{4} (1) \sin(4 \cdot 1) + \frac{1}{16} \cos(4 \cdot 1) \right) \]
\[ = \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) \]
Подставим нижний предел (0):
\[ \left( \frac{1}{4} (0) \sin(4 \cdot 0) + \frac{1}{16} \cos(4 \cdot 0) \right) \]
\[ = \left( 0 \cdot \sin(0) + \frac{1}{16} \cos(0) \right) \]
\[ = \left( 0 + \frac{1}{16} \cdot 1 \right) \]
\[ = \frac{1}{16} \]
Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
\[ \left( \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) \right) - \frac{1}{16} \]
Ответ:
\[ \frac{1}{4} \sin(4) + \frac{1}{16} \cos(4) - \frac{1}{16} \]
Задача 4
Найти определенный интеграл:
\[ \int_{-1}^0 x e^{-2x} \, dx \]
Решение:
Для решения этого интеграла также воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
Выберем \( u \) и \( dv \):
Пусть \( u = x \), тогда \( du = dx \).
Пусть \( dv = e^{-2x} \, dx \), тогда \( v = \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \).
Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:
\[ \int x e^{-2x} \, dx = x \cdot \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) - \int \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) \, dx \]
\[ = -\frac{1}{2} x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} \, dx \]
Интегрируем \( \int e^{-2x} \, dx \):
\[ \int e^{-2x} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \]
Подставляем обратно:
\[ = -\frac{1}{2} x e^{-2x} + \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \right) + C \]
\[ = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C \]
Теперь вычислим определенный интеграл, используя пределы от -1 до 0:
\[ \left[ -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_{-1}^0 \]
Подставим верхний предел (0):
\[ \left( -\frac{1}{2} (0) e^{-2 \cdot 0} - \frac{1}{4} e^{-2 \cdot 0} \right) \]
\[ = \left( 0 - \frac{1}{4} e^0 \right) \]
\[ = \left( 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 \right) \]
\[ = -\frac{1}{4} \]
Подставим нижний предел (-1):
\[ \left( -\frac{1}{2} (-1) e^{-2 \cdot (-1)} - \frac{1}{4} e^{-2 \cdot (-1)} \right) \]
\[ = \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{4} e^2 \right) \]
\[ = \left( \frac{2}{4} e^2 - \frac{1}{4} e^2 \right) \]
\[ = \frac{1}{4} e^2 \]
Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
\[ -\frac{1}{4} - \left( \frac{1}{4} e^2 \right) \]
\[ = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^2 \]
\[ = -\frac{1}{4} (1 + e^2) \]
Ответ:
\[ -\frac{1}{4} (1 + e^2) \]
Задача 5
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
\[ y = x^2 + 2x \]
\[ y = x + 2 \]
Решение:
Сначала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их:
\[ x^2 + 2x = x + 2 \]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\[ x^2 + 2x - x - 2 = 0 \]
\[ x^2 + x - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта или разложения на множители.
Разложим на множители:
Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1.
\[ (x+2)(x-1) = 0 \]
Отсюда получаем корни:
\[ x_1 = -2 \]
\[ x_2 = 1 \]
Эти значения \( x \) являются пределами интегрирования.
Теперь определим, какая функция находится выше на интервале \( [-2, 1] \).
Возьмем пробную точку, например, \( x = 0 \):
Для \( y = x^2 + 2x \): \( y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0 \)
Для \( y = x + 2 \): \( y(0) = 0 + 2 = 2 \)
Так как \( 2 > 0 \), то функция \( y = x + 2 \) находится выше функции \( y = x^2 + 2x \) на интервале \( [-2, 1] \).
Площадь \( S \) фигуры будет равна определенному интегралу от разности верхней и нижней функций по интервалу от \( x_1 \) до \( x_2 \):
\[ S = \int_{-2}^1 ((x+2) - (x^2+2x)) \, dx \]
Упростим подынтегральное выражение:
\[ S = \int_{-2}^1 (x+2 - x^2 - 2x) \, dx \]
\[ S = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) \, dx \]
Теперь найдем неопределенный интеграл:
\[ \int (-x^2 - x + 2) \, dx = -\frac{x^{2+1}}{2+1} - \frac{x^{1+1}}{1+1} + 2x + C \]
\[ = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x + C \]
Теперь вычислим определенный интеграл, используя пределы от -2 до 1:
\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^1 \]
Подставим верхний предел (1):
\[ \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) \]
Приведем к общему знаменателю (6):
\[ = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) = \frac{-2-3+12}{6} = \frac{7}{6} \]
Подставим нижний предел (-2):
\[ \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right) = \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right) \]
\[ = \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( \frac{8}{3} - 6 \right) \]
Приведем к общему знаменателю (3):
\[ = \left( \frac{8}{3} - \frac{18}{3} \right) = -\frac{10}{3} \]
Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
\[ S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) \]
\[ S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \]
Приведем к общему знаменателю (6):
\[ S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} \]
\[ S = \frac{27}{6} \]
Сократим дробь:
\[ S = \frac{9}{2} \]
\[ S = 4.5 \]
Ответ:
Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) или \( 4.5 \) квадратных единиц.
