Решение задачи А65*: Ускорение обруча на наклонной плоскости

Задача А65* Однородный тонкий обруч скатывается по наклонной плоскости, составляющей угол \( \alpha \) с горизонтом. Найти ускорение центра обруча и значение коэффициента трения, при которой не будет скольжения. Решение: 1. Нарисуем силы, действующие на обруч. * Сила тяжести \( mg \), направленная вертикально вниз. * Нормальная сила реакции опоры \( N \), перпендикулярная наклонной плоскости. * Сила трения покоя \( F_{тр} \), направленная вверх вдоль наклонной плоскости (так как обруч скатывается вниз, сила трения препятствует скольжению). 2. Выберем систему координат. Ось \( Ox \) направим вдоль наклонной плоскости вниз, ось \( Oy \) - перпендикулярно наклонной плоскости вверх. 3. Запишем уравнения движения для центра масс обруча (второй закон Ньютона). * По оси \( Ox \): \( mg \sin \alpha - F_{тр} = ma \) (1) * По оси \( Oy \): \( N - mg \cos \alpha = 0 \Rightarrow N = mg \cos \alpha \) (2) 4. Запишем уравнение вращательного движения относительно центра масс обруча. * Момент силы трения \( M_{тр} = F_{тр} R \), где \( R \) - радиус обруча. * Момент инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости обруча, равен \( I = mR^2 \). * Уравнение вращательного движения: \( M_{тр} = I \varepsilon \), где \( \varepsilon \) - угловое ускорение. * \( F_{тр} R = mR^2 \varepsilon \) (3) 5. Условие отсутствия скольжения (чистое качение): * Ускорение центра масс \( a \) и угловое ускорение \( \varepsilon \) связаны соотношением: \( a = \varepsilon R \) (4) 6. Подставим (4) в (3): * \( F_{тр} R = mR^2 \frac{a}{R} \) * \( F_{тр} R = mRa \) * \( F_{тр} = ma \) (5) 7. Теперь подставим (5) в (1): * \( mg \sin \alpha - ma = ma \) * \( mg \sin \alpha = 2ma \) * Сократим массу \( m \): * \( g \sin \alpha = 2a \) * Отсюда найдем ускорение центра обруча: * \[ a = \frac{g \sin \alpha}{2} \] 8. Теперь найдем значение коэффициента трения, при которой не будет скольжения. * Для отсутствия скольжения сила трения покоя должна быть меньше или равна максимальной силе трения покоя: \( F_{тр} \le \mu N \). * В нашем случае, мы нашли, что \( F_{тр} = ma \). * Подставим \( a \) и \( N \): * \( ma \le \mu mg \cos \alpha \) * \( m \left( \frac{g \sin \alpha}{2} \right) \le \mu mg \cos \alpha \) * Сократим \( mg \): * \( \frac{\sin \alpha}{2} \le \mu \cos \alpha \) * Чтобы не было скольжения, коэффициент трения должен быть не меньше минимального значения, при котором обеспечивается чистое качение. Это минимальное значение соответствует равенству: * \( \mu_{min} \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{2} \) * \[ \mu_{min} = \frac{\sin \alpha}{2 \cos \alpha} = \frac{1}{2} \tan \alpha \] * Таким образом, для того чтобы не было скольжения, коэффициент трения \( \mu \) должен удовлетворять условию: * \[ \mu \ge \frac{1}{2} \tan \alpha \] Ответ: Ускорение центра обруча: \[ a = \frac{g \sin \alpha}{2} \] Минимальное значение коэффициента трения, при которой не будет скольжения: \[ \mu_{min} = \frac{1}{2} \tan \alpha \]