Решение задачи 19: Равные треугольники

Вот решения для каждого пункта задания 19. Задание 19. Найдите на рисунке хотя бы одну пару равных треугольников, в ответ запишите равные треугольники и номер признака, по которому они равны. 1) На рисунке изображен треугольник \(ABC\) и высота \(BD\). Дано: \(AD = DC\), \(BD \perp AC\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\). 1. \(AD = DC\) (по условию). 2. \(BD\) - общая сторона. 3. \(\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ\) (так как \(BD \perp AC\)). Следовательно, \(\triangle ABD = \triangle CBD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Ответ: признак 1 \(\triangle ABD = \triangle CBD\) 2) На рисунке изображены два пересекающихся отрезка \(AE\) и \(BD\), пересекающиеся в точке \(C\). Дано: \(AC = CE\), \(BC = CD\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle EDC\). 1. \(AC = CE\) (по условию). 2. \(BC = CD\) (по условию). 3. \(\angle ACB = \angle ECD\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle EDC\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Ответ: признак 1 \(\triangle ABC = \triangle EDC\) 3) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle MNP\) и \(\triangle LKP\). Дано: \(MN = LK\), \(NP = KP\), \(\angle N = \angle K\). Рассмотрим треугольники \(\triangle MNP\) и \(\triangle LKP\). 1. \(MN = LK\) (по условию). 2. \(NP = KP\) (по условию). 3. \(\angle MNP = \angle LKP\) (по условию). Следовательно, \(\triangle MNP = \triangle LKP\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Ответ: признак 1 \(\triangle MNP = \triangle LKP\) 4) На рисунке изображены два прямоугольных треугольника \(\triangle ABT\) и \(\triangle NMT\). Дано: \(AT = TM\), \(\angle A = \angle M = 90^\circ\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABT\) и \(\triangle NMT\). 1. \(AT = TM\) (по условию). 2. \(\angle A = \angle M = 90^\circ\) (по условию). 3. \(\angle ATB = \angle MTN\) (как вертикальные углы). Следовательно, \(\triangle ABT = \triangle NMT\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: признак 2 \(\triangle ABT = \triangle NMT\) 5) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle ANC\). Дано: \(AC\) - общая сторона, \(\angle BAC = \angle NAC\), \(\angle BCA = \angle NCA\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ANC\). 1. \(AC\) - общая сторона. 2. \(\angle BAC = \angle NAC\) (по условию). 3. \(\angle BCA = \angle NCA\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ANC\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: признак 2 \(\triangle ABC = \triangle ANC\) 6) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle ABN\) и \(\triangle FMN\). Дано: \(AN = NF\), \(\angle BAN = \angle MFN\), \(\angle ABN = \angle FMN\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABN\) и \(\triangle FMN\). 1. \(AN = NF\) (по условию). 2. \(\angle BAN = \angle MFN\) (по условию). 3. \(\angle ABN = \angle FMN\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ABN = \triangle FMN\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: признак 2 \(\triangle ABN = \triangle FMN\) 7) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle LNT\) и \(\triangle KNT\). Дано: \(LN = KN\), \(LT = KT\), \(NT\) - общая сторона. Рассмотрим треугольники \(\triangle LNT\) и \(\triangle KNT\). 1. \(LN = KN\) (по условию). 2. \(LT = KT\) (по условию). 3. \(NT\) - общая сторона. Следовательно, \(\triangle LNT = \triangle KNT\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ: признак 3 \(\triangle LNT = \triangle KNT\) 8) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle PQT\) и \(\triangle RST\). Дано: \(PQ = RS\), \(PT = RT\), \(QT = ST\). Рассмотрим треугольники \(\triangle PQT\) и \(\triangle RST\). 1. \(PQ = RS\) (по условию). 2. \(PT = RT\) (по условию). 3. \(QT = ST\) (по условию). Следовательно, \(\triangle PQT = \triangle RST\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ: признак 3 \(\triangle PQT = \triangle RST\) 9) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle MNT\) и \(\triangle KLT\). Дано: \(MN = KL\), \(MT = KT\), \(NT = LT\). Рассмотрим треугольники \(\triangle MNT\) и \(\triangle KLT\). 1. \(MN = KL\) (по условию). 2. \(MT = KT\) (по условию). 3. \(NT = LT\) (по условию). Следовательно, \(\triangle MNT = \triangle KLT\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ: признак 3 \(\triangle MNT = \triangle KLT\) 10) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle PRK\) и \(\triangle QNK\). Дано: \(PR = QN\), \(PK = QK\), \(RK = NK\). Рассмотрим треугольники \(\triangle PRK\) и \(\triangle QNK\). 1. \(PR = QN\) (по условию). 2. \(PK = QK\) (по условию). 3. \(RK = NK\) (по условию). Следовательно, \(\triangle PRK = \triangle QNK\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Ответ: признак 3 \(\triangle PRK = \triangle QNK\) 11) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle AMN\) и \(\triangle CKN\). Дано: \(AM = CK\), \(AN = CN\), \(\angle MAN = \angle KCN\). Рассмотрим треугольники \(\triangle AMN\) и \(\triangle CKN\). 1. \(AM = CK\) (по условию). 2. \(AN = CN\) (по условию). 3. \(\angle MAN = \angle KCN\) (по условию). Следовательно, \(\triangle AMN = \triangle CKN\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Ответ: признак 1 \(\triangle AMN = \triangle CKN\) 12) На рисунке изображены два треугольника \(\triangle ABO\) и \(\triangle DCO\). Дано: \(AB = DC\), \(\angle BAO = \angle CDO\), \(\angle ABO = \angle DCO\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle DCO\). 1. \(AB = DC\) (по условию). 2. \(\angle BAO = \angle CDO\) (по условию). 3. \(\angle ABO = \angle DCO\) (по условию). Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle DCO\) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: признак 2 \(\triangle ABO = \triangle DCO\)