Задача:
Даны векторы \(\vec{a} = 3\vec{i} - 6\vec{j} - \vec{k}\), \(\vec{b} = \vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\), \(\vec{c} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k}\). Найти с точностью до 0,1 проекцию вектора \(\vec{b} + \vec{c}\) на направление вектора \(\vec{a} + \vec{b}\).
Решение:
1. Найдем вектор \(\vec{d} = \vec{b} + \vec{c}\).
Для этого сложим соответствующие координаты векторов \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
\[\vec{d} = (\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}) + (3\vec{i} + 4\vec{j} + 2\vec{k})\] \[\vec{d} = (1+3)\vec{i} + (4+4)\vec{j} + (5+2)\vec{k}\] \[\vec{d} = 4\vec{i} + 8\vec{j} + 7\vec{k}\]2. Найдем вектор \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\).
Для этого сложим соответствующие координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[\vec{e} = (3\vec{i} - 6\vec{j} - \vec{k}) + (\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k})\] \[\vec{e} = (3+1)\vec{i} + (-6+4)\vec{j} + (-1+5)\vec{k}\] \[\vec{e} = 4\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k}\]3. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{d}\) и \(\vec{e}\).
Скалярное произведение векторов \(\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)\) и \(\vec{e} = (e_x, e_y, e_z)\) вычисляется по формуле:
\[\vec{d} \cdot \vec{e} = d_x \cdot e_x + d_y \cdot e_y + d_z \cdot e_z\] \[\vec{d} \cdot \vec{e} = (4)(4) + (8)(-2) + (7)(4)\] \[\vec{d} \cdot \vec{e} = 16 - 16 + 28\] \[\vec{d} \cdot \vec{e} = 28\]4. Найдем модуль вектора \(\vec{e}\).
Модуль вектора \(\vec{e} = (e_x, e_y, e_z)\) вычисляется по формуле:
\[|\vec{e}| = \sqrt{e_x^2 + e_y^2 + e_z^2}\] \[|\vec{e}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2}\] \[|\vec{e}| = \sqrt{16 + 4 + 16}\] \[|\vec{e}| = \sqrt{36}\] \[|\vec{e}| = 6\]5. Найдем проекцию вектора \(\vec{d}\) на направление вектора \(\vec{e}\).
Проекция вектора \(\vec{d}\) на направление вектора \(\vec{e}\) (обозначается как \(\text{пр}_{\vec{e}}\vec{d}\)) вычисляется по формуле:
\[\text{пр}_{\vec{e}}\vec{d} = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{e}|}\] \[\text{пр}_{\vec{e}}\vec{d} = \frac{28}{6}\] \[\text{пр}_{\vec{e}}\vec{d} = \frac{14}{3}\]6. Вычислим значение и округлим до 0,1.
\[\frac{14}{3} \approx 4.666...\]Округляем до одного знака после запятой:
\[4.666... \approx 4.7\]Ответ:
Проекция вектора \(\vec{b} + \vec{c}\) на направление вектора \(\vec{a} + \vec{b}\) с точностью до 0,1 равна 4,7.