Задача 26
Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля приблизительно равна 3,5 м. Найдите приближённую длину пути (в сантиметрах), который проходит её конец за 1 минуту.
Решение:
1. Длина минутной стрелки — это радиус окружности, по которой движется её конец. Радиус \(R = 3,5\) м.
2. Переведём радиус в сантиметры, так как ответ нужно дать в сантиметрах: \(1\) м \(=\) \(100\) см. \(R = 3,5 \cdot 100 = 350\) см.
3. За 1 час (60 минут) минутная стрелка делает полный оборот, то есть проходит длину окружности. Длина окружности \(L = 2 \pi R\).
4. За 1 минуту минутная стрелка проходит \(1/60\) часть от всей длины окружности. Длина пути за 1 минуту \(S = \frac{1}{60} \cdot 2 \pi R = \frac{\pi R}{30}\).
5. Подставим значение \(R\) и приближённое значение \(\pi \approx 3,14\): \(S = \frac{3,14 \cdot 350}{30}\).
6. Вычислим: \(S = \frac{1099}{30} \approx 36,63\) см.
7. Округлим до десятых: \(S \approx 36,6\) см.
Ответ: Приблизительная длина пути, который проходит конец минутной стрелки за 1 минуту, составляет 36,6 см.
Задача 27
Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля приблизительно равна 3,5 м. За сколько минут её конец пройдёт путь длиной 105 см?
Решение:
1. Длина минутной стрелки (радиус) \(R = 3,5\) м.
2. Переведём радиус в сантиметры: \(R = 3,5 \cdot 100 = 350\) см.
3. Длина окружности, которую проходит конец стрелки за 60 минут: \(L = 2 \pi R = 2 \cdot 3,14 \cdot 350 = 2198\) см.
4. За 60 минут конец стрелки проходит 2198 см.
5. Нам нужно найти, за сколько минут конец стрелки пройдёт путь длиной 105 см.
6. Составим пропорцию: Если 2198 см стрелка проходит за 60 минут, то 105 см стрелка пройдёт за \(x\) минут.
\[ \frac{2198 \text{ см}}{60 \text{ мин}} = \frac{105 \text{ см}}{x \text{ мин}} \] \[ x = \frac{105 \cdot 60}{2198} \] \[ x = \frac{6300}{2198} \approx 2,866 \] \[ x \approx 2,9 \] минут.
Ответ: Конец минутной стрелки пройдёт путь длиной 105 см примерно за 2,9 минуты.
Задача 28
Под каким углом человек видит ноготь своего указательного пальца вытянутой руки, если ширина ногтя примерно равна 1 см, а расстояние до вытянутой руки примерно 60 см?
Решение:
1. Представим ситуацию как равнобедренный треугольник, где основание — это ширина ногтя, а боковые стороны — это расстояние от глаза до краёв ногтя. Угол, под которым виден ноготь, — это угол при вершине этого треугольника.
2. Ширина ногтя \(a = 1\) см.
3. Расстояние до вытянутой руки \(L = 60\) см.
4. Для малых углов можно использовать приближение, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Если разделить треугольник пополам, то получим прямоугольный треугольник, где половина ширины ногтя — это противолежащий катет, а расстояние до руки — прилежащий катет.
5. Пусть искомый угол будет \(\alpha\). Тогда половина угла будет \(\frac{\alpha}{2}\).
6. В прямоугольном треугольнике: \[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\text{половина ширины ногтя}}{\text{расстояние до руки}} \] \[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{L} \] \[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1/2}{60} = \frac{0,5}{60} = \frac{1}{120} \approx 0,00833 \]
7. Найдём \(\frac{\alpha}{2}\): \[ \frac{\alpha}{2} = \arctan\left(\frac{1}{120}\right) \] Используя калькулятор, найдём значение в градусах: \[ \frac{\alpha}{2} \approx 0,477^\circ \]
8. Тогда полный угол \(\alpha\): \[ \alpha = 2 \cdot 0,477^\circ = 0,954^\circ \]
9. Округлим до десятых: \[ \alpha \approx 1,0^\circ \]
Ответ: Человек видит ноготь своего указательного пальца вытянутой руки под углом примерно 1,0 градус.