Вариант 1
№1. Выполните умножение:
1) \( \frac{4x}{y} \cdot \frac{y}{12x} \)
Решение:
При умножении дробей числители умножаются с числителями, а знаменатели со знаменателями. Затем сокращаем общие множители.
\( \frac{4x}{y} \cdot \frac{y}{12x} = \frac{4x \cdot y}{y \cdot 12x} \)
Сокращаем \(x\) и \(y\), а также \(4\) и \(12\).
\( \frac{4x \cdot y}{y \cdot 12x} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{3} \)
2) \( \frac{a^3b}{15c} \cdot \left( -\frac{3c}{a^2b^2} \right) \)
Решение:
Умножаем числители и знаменатели. Учитываем знак минус.
\( \frac{a^3b}{15c} \cdot \left( -\frac{3c}{a^2b^2} \right) = -\frac{a^3b \cdot 3c}{15c \cdot a^2b^2} \)
Сокращаем \(c\). Сокращаем \(a^3\) и \(a^2\) (остается \(a\) в числителе). Сокращаем \(b\) и \(b^2\) (остается \(b\) в знаменателе). Сокращаем \(3\) и \(15\) (остается \(5\) в знаменателе).
\( -\frac{a^3b \cdot 3c}{15c \cdot a^2b^2} = -\frac{3a^3b}{15a^2b^2} = -\frac{a^{3-2}}{5b^{2-1}} = -\frac{a}{5b} \)
Ответ: \( -\frac{a}{5b} \)
3) \( \frac{24p^6}{35q^4} \cdot \frac{49q}{16p^4} \)
Решение:
Умножаем числители и знаменатели.
\( \frac{24p^6}{35q^4} \cdot \frac{49q}{16p^4} = \frac{24p^6 \cdot 49q}{35q^4 \cdot 16p^4} \)
Сокращаем числа: \(24\) и \(16\) делятся на \(8\) (остается \(3\) в числителе, \(2\) в знаменателе). \(49\) и \(35\) делятся на \(7\) (остается \(7\) в числителе, \(5\) в знаменателе).
Сокращаем степени \(p\): \(p^6\) и \(p^4\) (остается \(p^{6-4} = p^2\) в числителе).
Сокращаем степени \(q\): \(q\) и \(q^4\) (остается \(q^{4-1} = q^3\) в знаменателе).
\( \frac{24p^6 \cdot 49q}{35q^4 \cdot 16p^4} = \frac{(24:8)p^{6-4} \cdot (49:7)}{(35:7)q^{4-1} \cdot (16:8)} = \frac{3p^2 \cdot 7}{5q^3 \cdot 2} = \frac{21p^2}{10q^3} \)
Ответ: \( \frac{21p^2}{10q^3} \)
4) \( \frac{x^2 - 16}{x^3 - 3x^2} \cdot \frac{x^2 - 9}{x^2 + 4x} \)
Решение:
Разложим числители и знаменатели на множители.
\( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \) (разность квадратов)
\( x^3 - 3x^2 = x^2(x-3) \) (вынесение общего множителя)
\( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \) (разность квадратов)
\( x^2 + 4x = x(x+4) \) (вынесение общего множителя)
Подставляем разложенные множители в выражение:
\( \frac{(x-4)(x+4)}{x^2(x-3)} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+4)} \)
Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе: \( (x+4) \) и \( (x-3) \).
\( \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{x^2\cancel{(x-3)}} \cdot \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{x\cancel{(x+4)}} = \frac{(x-4)(x+3)}{x^2 \cdot x} = \frac{(x-4)(x+3)}{x^3} \)
Ответ: \( \frac{(x-4)(x+3)}{x^3} \)
№2. Выполните возведение в степень:
1) \( \left( \frac{m^6}{n^3} \right)^2 \)
Решение:
При возведении дроби в степень, числитель и знаменатель возводятся в эту степень. При возведении степени в степень, показатели степеней перемножаются.
\( \left( \frac{m^6}{n^3} \right)^2 = \frac{(m^6)^2}{(n^3)^2} = \frac{m^{6 \cdot 2}}{n^{3 \cdot 2}} = \frac{m^{12}}{n^6} \)
Ответ: \( \frac{m^{12}}{n^6} \)
2) \( \left( -\frac{3a}{2b^2} \right)^4 \)
Решение:
При возведении отрицательного числа в четную степень, результат будет положительным.
\( \left( -\frac{3a}{2b^2} \right)^4 = \frac{(3a)^4}{(2b^2)^4} = \frac{3^4 a^4}{2^4 (b^2)^4} = \frac{81a^4}{16b^{2 \cdot 4}} = \frac{81a^4}{16b^8} \)
Ответ: \( \frac{81a^4}{16b^8} \)
№3. Выполните деление:
1) \( \frac{16x^3}{9y^4} : \frac{8x^8}{27y^6} \)
Решение:
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
\( \frac{16x^3}{9y^4} : \frac{8x^8}{27y^6} = \frac{16x^3}{9y^4} \cdot \frac{27y^6}{8x^8} \)
Умножаем числители и знаменатели.
\( \frac{16x^3 \cdot 27y^6}{9y^4 \cdot 8x^8} \)
Сокращаем числа: \(16\) и \(8\) (остается \(2\) в числителе). \(27\) и \(9\) (остается \(3\) в числителе).
Сокращаем степени \(x\): \(x^3\) и \(x^8\) (остается \(x^{8-3} = x^5\) в знаменателе).
Сокращаем степени \(y\): \(y^6\) и \(y^4\) (остается \(y^{6-4} = y^2\) в числителе).
\( \frac{(16:8) \cdot (27:9) \cdot y^{6-4}}{x^{8-3}} = \frac{2 \cdot 3 \cdot y^2}{x^5} = \frac{6y^2}{x^5} \)
Ответ: \( \frac{6y^2}{x^5} \)
2) \( \frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} : \left( -\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}} \right) \)
Решение:
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Учитываем знак минус.
\( \frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} : \left( -\frac{4m^2n^9}{75p^5q^{12}} \right) = \frac{18m^3n^4}{25p^6q^{10}} \cdot \left( -\frac{75p^5q^{12}}{4m^2n^9} \right) \)
\( = -\frac{18m^3n^4 \cdot 75p^5q^{12}}{25p^6q^{10} \cdot 4m^2n^9} \)
Сокращаем числа: \(18\) и \(4\) делятся на \(2\) (остается \(9\) в числителе, \(2\) в знаменателе). \(75\) и \(25\) делятся на \(25\) (остается \(3\) в числителе, \(1\) в знаменателе).
Сокращаем степени \(m\): \(m^3\) и \(m^2\) (остается \(m^{3-2} = m\) в числителе).
Сокращаем степени \(n\): \(n^4\) и \(n^9\) (остается \(n^{9-4} = n^5\) в знаменателе).
Сокращаем степени \(p\): \(p^5\) и \(p^6\) (остается \(p^{6-5} = p\) в знаменателе).
Сокращаем степени \(q\): \(q^{12}\) и \(q^{10}\) (остается \(q^{12-10} = q^2\) в числителе).
\( = -\frac{(18:2)m^{3-2} \cdot (75:25)q^{12-10}}{(25:25)p^{6-5} \cdot (4:2)n^{9-4}} = -\frac{9m \cdot 3q^2}{1p \cdot 2n^5} = -\frac{27mq^2}{2pn^5} \)
Ответ: \( -\frac{27mq^2}{2pn^5} \)
3) \( (n-7) : \frac{n^2 - 14n + 49}{n^2 - 49} \)
Решение:
Представим \( (n-7) \) как дробь \( \frac{n-7}{1} \).
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
\( \frac{n-7}{1} \cdot \frac{n^2 - 49}{n^2 - 14n + 49} \)
Разложим числители и знаменатели на множители:
\( n^2 - 49 = (n-7)(n+7) \) (разность квадратов)
\( n^2 - 14n + 49 = (n-7)^2 \) (квадрат разности)
Подставляем разложенные множители:
\( \frac{n-7}{1} \cdot \frac{(n-7)(n+7)}{(n-7)^2} \)
Сокращаем \( (n-7) \) в числителе с \( (n-7)^2 \) в знаменателе.
\( \frac{\cancel{n-7}}{1} \cdot \frac{\cancel{(n-7)}(n+7)}{\cancel{(n-7)^2}} = n+7 \)
Ответ: \( n+7 \)