Задача:
Вектор \(\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) представить в виде линейной комбинации векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{a} = (3; -1)\), \(\vec{b} = (1; -2)\), \(\vec{c} = (-1; 7)\).
Решение:
1. Найдем вектор \(\vec{d}\).
Вектор \(\vec{d}\) является суммой векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Для этого сложим соответствующие координаты этих векторов:
\[\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\] \[\vec{d} = (3; -1) + (1; -2) + (-1; 7)\] \[\vec{d} = (3+1-1; -1-2+7)\] \[\vec{d} = (3; 4)\]2. Представим вектор \(\vec{d}\) в виде линейной комбинации векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Это означает, что мы ищем такие числа \(\alpha\) и \(\beta\), чтобы выполнялось равенство:
\[\vec{d} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}\]Подставим координаты векторов:
\[(3; 4) = \alpha (3; -1) + \beta (1; -2)\]Раскроем умножение на скаляр:
\[(3; 4) = (3\alpha; -\alpha) + (\beta; -2\beta)\]Сложим векторы в правой части:
\[(3; 4) = (3\alpha + \beta; -\alpha - 2\beta)\]3. Составим систему уравнений.
Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными \(\alpha\) и \(\beta\):
\[\begin{cases} 3\alpha + \beta = 3 \\ -\alpha - 2\beta = 4 \end{cases}\]4. Решим систему уравнений.
Из первого уравнения выразим \(\beta\):
\[\beta = 3 - 3\alpha\]Подставим это выражение для \(\beta\) во второе уравнение:
\[-\alpha - 2(3 - 3\alpha) = 4\] \[-\alpha - 6 + 6\alpha = 4\] \[5\alpha - 6 = 4\] \[5\alpha = 4 + 6\] \[5\alpha = 10\] \[\alpha = \frac{10}{5}\] \[\alpha = 2\]Теперь найдем \(\beta\), подставив значение \(\alpha = 2\) в выражение для \(\beta\):
\[\beta = 3 - 3(2)\] \[\beta = 3 - 6\] \[\beta = -3\]5. Проверим полученные значения.
Подставим \(\alpha = 2\) и \(\beta = -3\) в исходное равенство:
\[2 \vec{a} + (-3) \vec{b} = 2(3; -1) - 3(1; -2)\] \[= (6; -2) - (3; -6)\] \[= (6-3; -2-(-6))\] \[= (3; -2+6)\] \[= (3; 4)\]Полученный вектор \((3; 4)\) совпадает с вектором \(\vec{d}\). Значит, решение верное.
Ответ:
Вектор \(\vec{d}\) представляется в виде линейной комбинации \(\vec{d} = 2\vec{a} - 3\vec{b}\), то есть \(\alpha = 2\), \(\beta = -3\).