Доказательство ортогональности системы функций в W2^1[α, b]

Доказать, что система функций \(1\), \(\sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\), \(\cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\), \(k \in \mathbb{Z}\) ортогональна в пространстве \(W_2^1[\alpha, b]\). Для доказательства ортогональности системы функций в пространстве \(W_2^1[\alpha, b]\) необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение в пространстве Соболева \(W_2^1[\alpha, b]\) определяется как: \[ (u, v)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} u(t)v(t) dt + \int_{\alpha}^{b} u'(t)v'(t) dt \] где \(u'(t)\) и \(v'(t)\) - производные функций \(u(t)\) и \(v(t)\) соответственно. Рассмотрим функции из данной системы: 1. \(f_0(t) = 1\) 2. \(f_k(t) = \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) для \(k \in \mathbb{Z}, k \neq 0\) 3. \(g_k(t) = \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) для \(k \in \mathbb{Z}, k \neq 0\) Для удобства введем замену переменной: \(x = \frac{2\pi(t-\alpha)}{b-\alpha}\). Тогда \(t-\alpha = \frac{(b-\alpha)x}{2\pi}\), \(dt = \frac{b-\alpha}{2\pi} dx\). При \(t=\alpha\), \(x=0\). При \(t=b\), \(x = \frac{2\pi(b-\alpha)}{b-\alpha} = 2\pi\). Интервал интегрирования \([\alpha, b]\) переходит в \([0, 2\pi]\). Тогда функции примут вид: 1. \(f_0(t) = 1\) 2. \(f_k(t) = \sin(kx)\) 3. \(g_k(t) = \cos(kx)\) Найдем производные этих функций: 1. \(f_0'(t) = 0\) 2. \(f_k'(t) = \frac{2\pi k}{b-\alpha} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) 3. \(g_k'(t) = -\frac{2\pi k}{b-\alpha} \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) Теперь проверим ортогональность различных пар функций. Случай 1: Ортогональность \(f_0(t)=1\) с \(f_m(t)=\sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) для \(m \neq 0\). \[ (f_0, f_m)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt + \int_{\alpha}^{b} 0 \cdot f_m'(t) dt \] Второй интеграл равен нулю. Рассмотрим первый интеграл: \[ \int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] Сделаем замену \(u = \frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\), \(du = \frac{2\pi m}{b-\alpha} dt\), \(dt = \frac{b-\alpha}{2\pi m} du\). При \(t=\alpha\), \(u=0\). При \(t=b\), \(u=2\pi m\). \[ \int_{0}^{2\pi m} \sin(u) \frac{b-\alpha}{2\pi m} du = \frac{b-\alpha}{2\pi m} [-\cos(u)]_{0}^{2\pi m} = \frac{b-\alpha}{2\pi m} (-\cos(2\pi m) - (-\cos(0))) \] Поскольку \(m \in \mathbb{Z}\), \(\cos(2\pi m) = 1\) и \(\cos(0) = 1\). \[ \frac{b-\alpha}{2\pi m} (-1 - (-1)) = \frac{b-\alpha}{2\pi m} (0) = 0 \] Таким образом, \((f_0, f_m)_{W_2^1} = 0\). Случай 2: Ортогональность \(f_0(t)=1\) с \(g_m(t)=\cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\) для \(m \neq 0\). \[ (f_0, g_m)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} 1 \cdot \cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt + \int_{\alpha}^{b} 0 \cdot g_m'(t) dt \] Второй интеграл равен нулю. Рассмотрим первый интеграл: \[ \int_{\alpha}^{b} \cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] Сделаем ту же замену: \(u = \frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\), \(dt = \frac{b-\alpha}{2\pi m} du\). \[ \int_{0}^{2\pi m} \cos(u) \frac{b-\alpha}{2\pi m} du = \frac{b-\alpha}{2\pi m} [\sin(u)]_{0}^{2\pi m} = \frac{b-\alpha}{2\pi m} (\sin(2\pi m) - \sin(0)) \] Поскольку \(m \in \mathbb{Z}\), \(\sin(2\pi m) = 0\) и \(\sin(0) = 0\). \[ \frac{b-\alpha}{2\pi m} (0 - 0) = 0 \] Таким образом, \((f_0, g_m)_{W_2^1} = 0\). Случай 3: Ортогональность \(f_k(t)\) с \(f_m(t)\) для \(k \neq m\), \(k, m \neq 0\). \[ (f_k, f_m)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt + \int_{\alpha}^{b} f_k'(t)f_m'(t) dt \] Используем тригонометрическую формулу: \(\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))\). Пусть \(A = \frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\) и \(B = \frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\). Тогда \(A-B = \frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\) и \(A+B = \frac{2\pi (k+m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\). Первый интеграл: \[ \int_{\alpha}^{b} \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) - \cos\left(\frac{2\pi (k+m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\right) dt \] Каждый из этих интегралов равен нулю, так как \(k-m \neq 0\) и \(k+m \neq 0\) (поскольку \(k, m \neq 0\) и \(k \neq m\)). Это следует из того же принципа, что и в Случае 2. Например, для первого члена: \[ \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{b} \cos\left(\frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt = \frac{1}{2} \frac{b-\alpha}{2\pi (k-m)} [\sin(u)]_{0}^{2\pi (k-m)} = 0 \] Аналогично для второго члена. Таким образом, первый интеграл равен нулю. Теперь рассмотрим второй интеграл: \(\int_{\alpha}^{b} f_k'(t)f_m'(t) dt\). \[ f_k'(t) = \frac{2\pi k}{b-\alpha} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ f_m'(t) = \frac{2\pi m}{b-\alpha} \cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ \int_{\alpha}^{b} \frac{4\pi^2 km}{(b-\alpha)^2} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] Используем тригонометрическую формулу: \(\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))\). \[ \frac{4\pi^2 km}{(b-\alpha)^2} \int_{\alpha}^{b} \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) + \cos\left(\frac{2\pi (k+m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\right) dt \] Как и в предыдущем случае, каждый из этих интегралов равен нулю, поскольку \(k-m \neq 0\) и \(k+m \neq 0\). Таким образом, \((f_k, f_m)_{W_2^1} = 0\) для \(k \neq m\). Случай 4: Ортогональность \(g_k(t)\) с \(g_m(t)\) для \(k \neq m\), \(k, m \neq 0\). \[ (g_k, g_m)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt + \int_{\alpha}^{b} g_k'(t)g_m'(t) dt \] Первый интеграл равен нулю по тем же причинам, что и второй интеграл в Случае 3. Теперь рассмотрим второй интеграл: \(\int_{\alpha}^{b} g_k'(t)g_m'(t) dt\). \[ g_k'(t) = -\frac{2\pi k}{b-\alpha} \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ g_m'(t) = -\frac{2\pi m}{b-\alpha} \sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ \int_{\alpha}^{b} \left(-\frac{2\pi k}{b-\alpha}\right)\left(-\frac{2\pi m}{b-\alpha}\right) \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] \[ = \frac{4\pi^2 km}{(b-\alpha)^2} \int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] Как и в Случае 3, этот интеграл равен нулю. Таким образом, \((g_k, g_m)_{W_2^1} = 0\) для \(k \neq m\). Случай 5: Ортогональность \(f_k(t)\) с \(g_m(t)\) для любых \(k, m \neq 0\). \[ (f_k, g_m)_{W_2^1} = \int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\cos\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt + \int_{\alpha}^{b} f_k'(t)g_m'(t) dt \] Используем тригонометрическую формулу: \(\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A-B) + \sin(A+B))\). Первый интеграл: \[ \int_{\alpha}^{b} \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) + \sin\left(\frac{2\pi (k+m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\right) dt \] Если \(k \neq m\), то \(k-m \neq 0\). Если \(k=m\), то \(k-m=0\), и \(\sin(0)=0\). Если \(k-m \neq 0\), то \(\int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi (k-m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt = 0\) (как в Случае 1). Если \(k+m \neq 0\), то \(\int_{\alpha}^{b} \sin\left(\frac{2\pi (k+m)(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt = 0\). Поскольку \(k, m \neq 0\), \(k+m\) всегда не равно нулю. Таким образом, первый интеграл всегда равен нулю. Теперь рассмотрим второй интеграл: \(\int_{\alpha}^{b} f_k'(t)g_m'(t) dt\). \[ f_k'(t) = \frac{2\pi k}{b-\alpha} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ g_m'(t) = -\frac{2\pi m}{b-\alpha} \sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \] \[ \int_{\alpha}^{b} \frac{2\pi k}{b-\alpha} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) \left(-\frac{2\pi m}{b-\alpha}\right) \sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] \[ = -\frac{4\pi^2 km}{(b-\alpha)^2} \int_{\alpha}^{b} \cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\sin\left(\frac{2\pi m(t-\alpha)}{b-\alpha}\right) dt \] Этот интеграл также равен нулю по тем же причинам, что и первый интеграл в этом случае. Таким образом, \((f_k, g_m)_{W_2^1} = 0\). Мы показали, что скалярное произведение любых двух различных функций из данной системы равно нулю. Это доказывает, что система функций ортогональна в пространстве \(W_2^1[\alpha, b]\). Вывод: Система функций \(1\), \(\sin\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\), \(\cos\left(\frac{2\pi k(t-\alpha)}{b-\alpha}\right)\), \(k \in \mathbb{Z}\) ортогональна в пространстве \(W_2^1[\alpha, b]\).