Решение задачи: Свойства степенной функции y=x^p

Задание:

Степенная функция \(y = x^p\), где \(p\) — положительное действительное нецелое число, обладает следующими свойствами. Укажите истинные утверждения.

Выберите один или несколько ответов:

• Функция не является ни четной, ни нечетной
• Область определения - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\)
• Множество значений - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\)
• Принимает наименьшее значение \(y=0\); \(x=0\)
• Функция является возрастающей на промежутке \(x \ge 0\)

Решение:

Рассмотрим степенную функцию \(y = x^p\), где \(p\) — положительное действительное нецелое число. Примеры таких \(p\): \(\frac{1}{2}\), \(\frac{3}{2}\), \(\sqrt{2}\) и т.д. Наиболее характерный пример такой функции — это \(y = \sqrt{x}\) или \(y = x^{\frac{1}{2}}\).

Давайте проанализируем каждое утверждение:

1. Функция не является ни четной, ни нечетной.
   • Функция \(f(x)\) называется четной, если \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\) из области определения.
   • Функция \(f(x)\) называется нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\) для всех \(x\) из области определения.
   Для функции \(y = x^p\), где \(p\) — нецелое число (например, \(p = \frac{1}{2}\)), область определения не включает отрицательные числа (например, \(\sqrt{-1}\) не является действительным числом). Если область определения несимметрична относительно нуля, функция не может быть ни четной, ни нечетной.
   Это утверждение истинно.
2. Область определения - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\). Если \(p\) — нецелое число (например, \(\frac{1}{2}\)), то для того, чтобы \(x^p\) было действительным числом, \(x\) должно быть неотрицательным, то есть \(x \ge 0\). Например, \(\sqrt{x}\) определена только для \(x \ge 0\).
   Это утверждение ложно. Область определения — \([0; +\infty)\).
3. Множество значений - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\). Поскольку \(x \ge 0\) и \(p > 0\), то \(x^p \ge 0\). Например, для \(y = \sqrt{x}\), значения функции всегда неотрицательны.
   Это утверждение ложно. Множество значений — \([0; +\infty)\).
4. Принимает наименьшее значение \(y=0\); \(x=0\). Так как область определения \([0; +\infty)\) и функция возрастает на этом промежутке (см. следующий пункт), то наименьшее значение будет при наименьшем \(x\), то есть при \(x=0\). В этом случае \(y = 0^p = 0\).
   Это утверждение истинно.
5. Функция является возрастающей на промежутке \(x \ge 0\). Для степенной функции \(y = x^p\), если \(p > 0\), функция является возрастающей на промежутке \([0; +\infty)\). Это можно проверить, например, с помощью производной: \(y' = px^{p-1}\). Если \(x > 0\) и \(p > 0\), то \(y' > 0\), что означает возрастание функции.
   Это утверждение истинно.

Истинные утверждения:

• Функция не является ни четной, ни нечетной
• Принимает наименьшее значение \(y=0\); \(x=0\)
• Функция является возрастающей на промежутке \(x \ge 0\)