Решение: Соответствие степенной функции и графика

Задание:

Соотнесите вид степенной функции в зависимости от показателя \(p\).

Варианты описаний графиков:

1. Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\)
2. Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\)
3. Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат
4. Гипербола
5. Убывающая ветвь гиперболы
6. Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат

Решение:

Степенная функция имеет вид \(y = x^p\). Рассмотрим различные значения показателя \(p\) и соответствующие им графики:

1. Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\)

   Это график функции \(y = x^2\). В этом случае \(p = 2\).

   Соответствие: \(p = 2\)

2. Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\)

   Это график функции \(y = x^0\). Любое число в нулевой степени равно 1, кроме \(0^0\), которое является неопределенностью. Поэтому при \(x \neq 0\), \(y = 1\). При \(x = 0\), функция не определена, поэтому точка выколота.

   Соответствие: \(p = 0\)

3. Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат

   Это график функции \(y = x^3\). Она проходит через начало координат и симметрична относительно него.

   Соответствие: \(p = 3\)

4. Гипербола

   Классическая гипербола — это график функции \(y = \frac{1}{x}\), что можно записать как \(y = x^{-1}\). В этом случае \(p = -1\).

   Соответствие: \(p = -1\)

5. Убывающая ветвь гиперболы

   Это описание подходит для функции \(y = x^p\), где \(p < 0\). Например, для \(y = x^{-1}\) (гипербола), на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\) функция убывает. Если речь идет о ветви, которая убывает, то это может быть, например, \(y = x^{-2}\) (где \(p = -2\)), которая также является убывающей на \((0; +\infty)\).

   Соответствие: \(p = -2\) (или любое другое отрицательное четное число, например, \(p = -4\), или любое отрицательное нечетное число, например, \(p = -3\), но \(p = -2\) является хорошим примером для "убывающей ветви гиперболы", так как \(y = x^{-2}\) имеет две ветви, убывающие на \((0; +\infty)\) и возрастающие на \((-\infty; 0)\)). Если имеется в виду только одна ветвь, то \(p = -1\) также подходит, так как обе ветви гиперболы убывают.

   Для однозначности, если есть выбор, \(p = -2\) часто используется для иллюстрации "убывающей ветви гиперболы" в контексте степенных функций с отрицательным четным показателем, где график симметричен относительно оси \(Oy\), а ветви убывают при \(x > 0\).

   Соответствие: \(p = -2\)

6. Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат

   Это описание характерно для функции \(y = \sqrt{x}\), что можно записать как \(y = x^{\frac{1}{2}}\). График начинается в точке \((0;0)\) и идет вверх вправо, напоминая половину параболы, лежащей на боку.

   Соответствие: \(p = \frac{1}{2}\)

Итоговое соотнесение:

• Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\) — \(p = 2\)
• Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\) — \(p = 0\)
• Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат — \(p = 3\)
• Гипербола — \(p = -1\)
• Убывающая ветвь гиперболы — \(p = -2\)
• Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат — \(p = \frac{1}{2}\)