Задача:
Даны два единичных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), угол между которыми 120°. Найти:
а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\);
б) проекцию вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\).
Дано:
- Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) единичные, то есть \(|\vec{m}| = 1\) и \(|\vec{n}| = 1\).
- Угол между \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) равен 120°, то есть \((\vec{m}, \vec{n}) = 120^\circ\).
- \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\)
- \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\)
Вспомогательные вычисления:
Скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{n}\):
\[\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos(120^\circ) = (1)(1)(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}\]Часть а) Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), это векторы \(\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}\).
1. Найдем вектор \(\vec{d_1}\):
\[\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (-2\vec{m} + \vec{n}) + (\vec{m} + 2\vec{n}) = (-2+1)\vec{m} + (1+2)\vec{n} = -\vec{m} + 3\vec{n}\]2. Найдем вектор \(\vec{d_2}\):
\[\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (-2\vec{m} + \vec{n}) - (\vec{m} + 2\vec{n}) = (-2-1)\vec{m} + (1-2)\vec{n} = -3\vec{m} - \vec{n}\]3. Найдем скалярное произведение \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}\):
\[\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \vec{n})\] \[= (-\vec{m})(-3\vec{m}) + (-\vec{m})(-\vec{n}) + (3\vec{n})(-3\vec{m}) + (3\vec{n})(-\vec{n})\] \[= 3|\vec{m}|^2 + \vec{m}\cdot\vec{n} - 9\vec{m}\cdot\vec{n} - 3|\vec{n}|^2\] \[= 3(1)^2 - 8\vec{m}\cdot\vec{n} - 3(1)^2\] \[= 3 - 8(-\frac{1}{2}) - 3\] \[= 3 + 4 - 3 = 4\]4. Найдем модули векторов \(\vec{d_1}\) и \(\vec{d_2}\):
\[|\vec{d_1}|^2 = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 - 6\vec{m}\cdot\vec{n} + 9|\vec{n}|^2\] \[= (1)^2 - 6(-\frac{1}{2}) + 9(1)^2 = 1 + 3 + 9 = 13\] \[|\vec{d_1}| = \sqrt{13}\] \[|\vec{d_2}|^2 = (-3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \vec{n}) = 9|\vec{m}|^2 + 6\vec{m}\cdot\vec{n} + |\vec{n}|^2\] \[= 9(1)^2 + 6(-\frac{1}{2}) + (1)^2 = 9 - 3 + 1 = 7\] \[|\vec{d_2}| = \sqrt{7}\]5. Найдем косинус угла \(\phi\) между \(\vec{d_1}\) и \(\vec{d_2}\):
\[\cos\phi = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} = \frac{4}{\sqrt{13}\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{91}}\]Так как \(\cos\phi > 0\), угол \(\phi\) является острым. Если бы \(\cos\phi < 0\), мы бы взяли \(\pi - \phi\).
\[\phi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\]Часть б) Найти проекцию вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\).
Проекция вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\) (обозначается как \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b}\)) вычисляется по формуле:
\[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}\]1. Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n})\] \[= (-2\vec{m})(\vec{m}) + (-2\vec{m})(2\vec{n}) + (\vec{n})(\vec{m}) + (\vec{n})(2\vec{n})\] \[= -2|\vec{m}|^2 - 4\vec{m}\cdot\vec{n} + \vec{m}\cdot\vec{n} + 2|\vec{n}|^2\] \[= -2|\vec{m}|^2 - 3\vec{m}\cdot\vec{n} + 2|\vec{n}|^2\] \[= -2(1)^2 - 3(-\frac{1}{2}) + 2(1)^2\] \[= -2 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2}\]2. Найдем модуль вектора \(\vec{a}\):
\[|\vec{a}|^2 = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (-2\vec{m} + \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4\vec{m}\cdot\vec{n} + |\vec{n}|^2\] \[= 4(1)^2 - 4(-\frac{1}{2}) + (1)^2\] \[= 4 + 2 + 1 = 7\] \[|\vec{a}| = \sqrt{7}\]3. Вычислим проекцию:
\[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}\]Сравнение с вариантами ответа:
В вариантах ответа представлены пары значений. Первая часть - это угол, вторая - проекция. Угол: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\). Проекция: \(\frac{3}{2\sqrt{7}}\).
Давайте посмотрим на предложенные варианты. Ни один из них не совпадает с точностью до формы записи. Возможно, в задаче есть опечатка или требуется преобразование. Перепишем проекцию: \(\frac{3}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\).
Давайте перепроверим вычисления. \(\vec{d_1} = -\vec{m} + 3\vec{n}\) \(\vec{d_2} = -3\vec{m} - \vec{n}\) \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3|\vec{m}|^2 + \vec{m}\cdot\vec{n} - 9\vec{m}\cdot\vec{n} - 3|\vec{n}|^2 = 3 - 8(-\frac{1}{2}) - 3 = 3+4-3 = 4\). Верно. \(|\vec{d_1}|^2 = |\vec{m}|^2 - 6\vec{m}\cdot\vec{n} + 9|\vec{n}|^2 = 1 - 6(-\frac{1}{2}) + 9 = 1+3+9 = 13\). Верно. \(|\vec{d_2}|^2 = 9|\vec{m}|^2 + 6\vec{m}\cdot\vec{n} + |\vec{n}|^2 = 9 + 6(-\frac{1}{2}) + 1 = 9-3+1 = 7\). Верно. \(\cos\phi = \frac{4}{\sqrt{13}\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{91}}\). Верно. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -2|\vec{m}|^2 - 3\vec{m}\cdot\vec{n} + 2|\vec{n}|^2 = -2 - 3(-\frac{1}{2}) + 2 = -2 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2}\). Верно. \(|\vec{a}|^2 = 4|\vec{m}|^2 - 4\vec{m}\cdot\vec{n} + |\vec{n}|^2 = 4 - 4(-\frac{1}{2}) + 1 = 4+2+1 = 7\). Верно. \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{3/2}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}\). Верно.
Давайте посмотрим на варианты ответов. Они имеют вид \(\arccos\sqrt{X/Y}, \sqrt{Z}\).
Наш угол: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\). Наши проекции: \(\frac{3}{2\sqrt{7}}\).
Возможно, в вариантах ответа есть ошибка в записи или подразумевается другая форма. Например, если бы проекция была \(\sqrt{Z}\), то \(\frac{3}{2\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{9}{4 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{9}{28}}\). Ни один из вариантов не содержит \(\sqrt{9/28}\) или \(\sqrt{7}\) в знаменателе. Однако, если посмотреть на варианты, то вторая часть ответа - это просто число под корнем. Например, \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{11}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{7}\). Наша проекция \(\frac{3}{2\sqrt{7}}\) не равна ни одному из этих чисел.
Давайте внимательно перечитаем условие. "Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\); б) проекцию вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\)."
Возможно, в вариантах ответа указаны не \(\arccos(\text{значение})\), а \(\arccos(\sqrt{\text{значение}})\). Если \(\cos\phi = \frac{4}{\sqrt{91}}\), то \(\cos^2\phi = \frac{16}{91}\). Ни один из вариантов \(\sqrt{3/5}\), \(\sqrt{3/11}\), \(\sqrt{3/8}\), \(\sqrt{3/7}\) не дает \(\frac{16}{91}\) при возведении в квадрат.
Давайте еще раз проверим вычисления. Все шаги выполнены корректно. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка. Однако, если мы должны выбрать из предложенных вариантов, то нужно искать наиболее близкий или тот, который может быть получен при какой-то интерпретации.
Рассмотрим вариант ответа: \(\arccos\sqrt{3/7}, \sqrt{7}\).
Если бы \(\cos\phi = \sqrt{3/7}\), то \(\cos^2\phi = 3/7\). У нас \(\cos^2\phi = 16/91\). Это не совпадает.
Если бы проекция была \(\sqrt{7}\), то \(\frac{3}{2\sqrt{7}} = \sqrt{7}\) \(\Rightarrow\) \(3 = 2 \cdot 7 = 14\), что неверно.
Давайте предположим, что в вариантах ответа указаны не \(\arccos(\text{значение})\), а \(\arccos(\text{значение})\) и \(\text{значение}\) для проекции. Тогда нам нужно найти вариант, где \(\cos\phi\) и \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b}\) совпадают.
Пересчитаем еще раз, чтобы исключить арифметические ошибки.
Дано: \(|\vec{m}|=1, |\vec{n}|=1, (\vec{m}, \vec{n})=120^\circ \Rightarrow \vec{m}\cdot\vec{n} = -1/2\).
\(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\)
\(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\)
Часть а) Угол между диагоналями \(\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}\).
\(\vec{d_1} = (-2\vec{m} + \vec{n}) + (\vec{m} + 2\vec{n}) = -\vec{m} + 3\vec{n}\)
\(\vec{d_2} = (-2\vec{m} + \vec{n}) - (\vec{m} + 2\vec{n}) = -3\vec{m} - \vec{n}\)
\(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \vec{n}) = 3|\vec{m}|^2 + \vec{m}\cdot\vec{n} - 9\vec{m}\cdot\vec{n} - 3|\vec{n}|^2 = 3(1)^2 - 8(-1/2) - 3(1)^2 = 3 + 4 - 3 = 4\).
\(|\vec{d_1}|^2 = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 - 6\vec{m}\cdot\vec{n} + 9|\vec{n}|^2 = 1 - 6(-1/2) + 9 = 1 + 3 + 9 = 13\). \(|\vec{d_1}| = \sqrt{13}\).
\(|\vec{d_2}|^2 = (-3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \