Задание:
Соотнесите вид степенной функции \(y = x^p\) с показателем \(p\).
В предыдущем задании были даны описания графиков, а здесь — варианты для показателя \(p\).
Варианты для показателя \(p\):
- \(p\) - положительное действительное число
- \(p\) - натуральное, нечетное
- \(p\) - натуральное, четное
- \(p\) - целое отрицательное число
- \(p = 0\)
- \(p\) - отрицательное действительное число
Решение:
Давайте соотнесем каждый вариант показателя \(p\) с соответствующим ему типом графика степенной функции \(y = x^p\).
- \(p\) - натуральное, четное
Примеры: \(p = 2, 4, 6, \dots\). График \(y = x^2\) — это парабола, симметричная относительно оси \(Oy\). Графики \(y = x^4, y = x^6\) и т.д. похожи на параболу, но более "прижаты" к оси \(Oy\) при \(|x| < 1\) и более "круто" возрастают при \(|x| > 1\). Все они симметричны относительно оси \(Oy\).
Соответствие: Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\).
- \(p = 0\)
При \(p = 0\), функция имеет вид \(y = x^0\). Для \(x \neq 0\), \(y = 1\). При \(x = 0\), \(0^0\) не определено. Таким образом, график — это горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\).
Соответствие: Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\).
- \(p\) - натуральное, нечетное
Примеры: \(p = 1, 3, 5, \dots\). График \(y = x^1\) — это прямая. График \(y = x^3\) — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Графики \(y = x^5, y = x^7\) и т.д. похожи на кубическую параболу, но более "прижаты" к оси \(Ox\) при \(|x| < 1\) и более "круто" возрастают/убывают при \(|x| > 1\). Все они симметричны относительно начала координат.
Соответствие: Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат (для \(p=3\)). Для \(p=1\) это прямая, проходящая через начало координат. Если выбирать из предложенных вариантов, "кубическая парабола" является наиболее характерным примером для нечетного натурального \(p > 1\).
- \(p\) - целое отрицательное число
Примеры: \(p = -1, -2, -3, \dots\).
Если \(p = -1\), то \(y = x^{-1} = \frac{1}{x}\). Это классическая гипербола.
Если \(p = -2\), то \(y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}\). Это также график, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси \(Oy\), похожих на гиперболу, но расположенных в верхней полуплоскости. Каждая ветвь убывает на \((0; +\infty)\) и возрастает на \((-\infty; 0)\).Соответствие: Гипербола (для \(p = -1\)) или Убывающая ветвь гиперболы (для \(p = -2\), если рассматривать \(x > 0\)). В контексте общего понятия "гипербола" для \(p = -1\) это наиболее точное описание. Для \(p = -2\) это "убывающая ветвь гиперболы" (на \((0; +\infty)\)).
- \(p\) - положительное действительное число (нецелое)
Примеры: \(p = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{2}, \dots\).
Если \(p = \frac{1}{2}\), то \(y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}\). График начинается в \((0;0)\) и является возрастающей ветвью, похожей на половину параболы, лежащей на боку.Соответствие: Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат.
- \(p\) - отрицательное действительное число (нецелое)
Примеры: \(p = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{2}, \dots\).
Если \(p = -\frac{1}{2}\), то \(y = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\). График определен для \(x > 0\), начинается от \((0; +\infty)\) и убывает, приближаясь к оси \(Ox\). Это также ветвь, похожая на гиперболу, но с более сложным поведением вблизи осей.Соответствие: (Это описание не было явно дано в предыдущем списке, но если бы было, то это была бы "ветвь, убывающая к оси Ox").
Итоговое соотнесение (с учетом предыдущего задания):
- Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\) — \(p\) - натуральное, четное (например, \(p=2\))
- Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\) — \(p = 0\)
- Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат — \(p\) - натуральное, нечетное (например, \(p=3\))
- Гипербола — \(p\) - целое отрицательное число (например, \(p=-1\))
- Убывающая ветвь гиперболы — \(p\) - целое отрицательное число (например, \(p=-2\))
- Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат — \(p\) - положительное действительное число (например, \(p=\frac{1}{2}\))
Обратите внимание, что "целое отрицательное число" может соответствовать как "гиперболе" (\(p=-1\)), так и "убывающей ветви гиперболы" (\(p=-2\)). В зависимости от того, как сформулированы варианты выбора, нужно выбрать наиболее подходящий. Если есть только один вариант для \(p=-1\) и \(p=-2\), то они оба подпадают под "целое отрицательное число".
Также "положительное действительное число" может быть как целым, так и нецелым. Если в предыдущем задании было "похож на ветвь параболы", то это скорее всего \(p = \frac{1}{2}\), что является положительным действительным нецелым числом. Если есть отдельный вариант "положительное действительное число", то он будет соответствовать этому.
Предполагая, что каждый вариант \(p\) должен быть использован один раз для каждого описания графика:
- Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\) — \(p\) - натуральное, четное
- Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\) — \(p = 0\)
- Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат — \(p\) - натуральное, нечетное
- Гипербола — \(p\) - целое отрицательное число (для \(p=-1\))
- Убывающая ветвь гиперболы — \(p\) - отрицательное действительное число (для \(p=-2\), если это отдельный вариант, или если \(p\) может быть нецелым отрицательным, например \(p = -\frac{1}{2}\))
- Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат — \(p\) - положительное действительное число (для \(p=\frac{1}{2}\))
Если варианты для \(p\) в выпадающем списке соответствуют конкретным значениям, которые были в предыдущем задании, то:
- Для \(p=2\) (Парабола) — \(p\) - натуральное, четное
- Для \(p=0\) (Горизонтальная прямая) — \(p = 0\)
- Для \(p=3\) (Кубическая парабола) — \(p\) - натуральное, нечетное
- Для \(p=-1\) (Гипербола) — \(p\) - целое отрицательное число
- Для \(p=-2\) (Убывающая ветвь гиперболы) — \(p\) - целое отрицательное число (если есть только один вариант "целое отрицательное число", то это может быть проблемой, если нужно выбрать дважды. Если же это разные варианты, то для \(p=-2\) можно выбрать "отрицательное действительное число", если нет более точного "целого отрицательного числа" для второго случая).
Предположим, что "целое отрицательное число" относится к \(p=-1\), а "отрицательное действительное число" к \(p=-2\) (как более общее, если нет другого варианта). - Для \(p=\frac{1}{2}\) (Ветвь параболы) — \(p\) - положительное действительное число
Таким образом, наиболее логичное соотнесение, учитывая типичные примеры и общность категорий:
- Парабола, симметричная относительно оси \(Oy\) — \(p\) - натуральное, четное
- Горизонтальная прямая \(y = 1\) с выколотой точкой в \(x = 0\) — \(p = 0\)
- Кубическая парабола, симметричная относительно начала координат — \(p\) - натуральное, нечетное
- Гипербола — \(p\) - целое отрицательное число
- Убывающая ветвь гиперболы — \(p\) - отрицательное действительное число (если \(p\) может быть нецелым, или если это более общая категория для отрицательных \(p\), когда "целое отрицательное" уже использовано)
- Похож на ветвь параболы, выходящую из начала координат — \(p\) - положительное действительное число