Решение задачи А56* по физике

Задача А56* Через блок, имеющий форму диска, перекинули шнур. К концам шнура привязали грузы \( m_1 = 100 \) г и \( m_2 = 110 \) г. Найти время \( t \), за которое груз \( m_2 \) пройдет расстояние \( S = 80 \) см, если в начальный момент система покоилась. Какой кинетической энергией будет обладать система в момент времени \( t \)? Масса блока \( M = 400 \) г. Трением при вращении блока пренебречь. Решение: 1. Переведем все величины в систему СИ: * \( m_1 = 100 \) г \( = 0.1 \) кг * \( m_2 = 110 \) г \( = 0.11 \) кг * \( S = 80 \) см \( = 0.8 \) м * \( M = 400 \) г \( = 0.4 \) кг * Ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с\(^2\) (или \( 10 \) м/с\(^2\) для упрощения расчетов, если не указано иное. Будем использовать \( 9.8 \) м/с\(^2\)). 2. Нарисуем силы, действующие на каждый груз и на блок. * На груз \( m_1 \): сила тяжести \( m_1 g \) вниз, сила натяжения нити \( T_1 \) вверх. * На груз \( m_2 \): сила тяжести \( m_2 g \) вниз, сила натяжения нити \( T_2 \) вверх. * На блок: силы натяжения \( T_1 \) и \( T_2 \) создают моменты вращения. 3. Запишем уравнения движения: * Для груза \( m_1 \): \( T_1 - m_1 g = m_1 a \) (1) (груз \( m_1 \) движется вверх, так как \( m_2 > m_1 \)) * Для груза \( m_2 \): \( m_2 g - T_2 = m_2 a \) (2) (груз \( m_2 \) движется вниз) * Для блока (вращательное движение): \( (T_2 - T_1) R = I \varepsilon \) (3), где \( R \) - радиус блока, \( I \) - момент инерции блока, \( \varepsilon \) - угловое ускорение. 4. Момент инерции блока, имеющего форму диска: * \( I = \frac{1}{2} M R^2 \) (4) 5. Связь между линейным ускорением грузов и угловым ускорением блока (нить не проскальзывает): * \( a = \varepsilon R \) (5) 6. Подставим (4) и (5) в (3): * \( (T_2 - T_1) R = \frac{1}{2} M R^2 \frac{a}{R} \) * \( (T_2 - T_1) R = \frac{1}{2} M R a \) * \( T_2 - T_1 = \frac{1}{2} M a \) (6) 7. Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (\( T_1, T_2, a \)): * \( T_1 = m_1 g + m_1 a \) (из (1)) * \( T_2 = m_2 g - m_2 a \) (из (2)) * \( T_2 - T_1 = \frac{1}{2} M a \) (из (6)) 8. Подставим выражения для \( T_1 \) и \( T_2 \) в (6): * \( (m_2 g - m_2 a) - (m_1 g + m_1 a) = \frac{1}{2} M a \) * \( m_2 g - m_1 g - m_2 a - m_1 a = \frac{1}{2} M a \) * \( (m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2 + \frac{1}{2} M) a \) * Выразим ускорение \( a \): * \[ a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2 + \frac{1}{2} M} \] 9. Вычислим значение ускорения \( a \): * \( a = \frac{(0.11 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.1 \text{ кг} + 0.11 \text{ кг} + \frac{1}{2} \cdot 0.4 \text{ кг}} \) * \( a = \frac{0.01 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{0.21 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} \) * \( a = \frac{0.098 \text{ Н}}{0.41 \text{ кг}} \) * \( a \approx 0.239 \) м/с\(^2\) 10. Найдем время \( t \), за которое груз \( m_2 \) пройдет расстояние \( S \). * Так как система покоилась в начальный момент, начальная скорость \( v_0 = 0 \). * Используем формулу для равноускоренного движения: \( S = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \). * \( S = \frac{1}{2} a t^2 \) * \( t^2 = \frac{2S}{a} \) * \( t = \sqrt{\frac{2S}{a}} \) * \[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.8 \text{ м}}{0.239 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{1.6}{0.239}} \approx \sqrt{6.69} \approx 2.59 \text{ с} \] 11. Найдем кинетическую энергию системы в момент времени \( t \). * Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии грузов и кинетической энергии вращения блока. * \( E_k = E_{k1} + E_{k2} + E_{k_{блока}} \) * \( E_{k1} = \frac{1}{2} m_1 v^2 \) * \( E_{k2} = \frac{1}{2} m_2 v^2 \) * \( E_{k_{блока}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \) * Скорость грузов \( v \) и угловая скорость блока \( \omega \) в момент времени \( t \): * \( v = a t \) * \( \omega = \varepsilon t = \frac{a}{R} t \) * Тогда \( E_{k_{блока}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} M R^2 \right) \left( \frac{a}{R} t \right)^2 = \frac{1}{4} M R^2 \frac{a^2 t^2}{R^2} = \frac{1}{4} M a^2 t^2 = \frac{1}{4} M v^2 \) * Общая кинетическая энергия: * \( E_k = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{4} M v^2 = \left( \frac{1}{2} m_1 + \frac{1}{2} m_2 + \frac{1}{4} M \right) v^2 \) * Или, используя \( v = a t \): * \[ E_k = \left( \frac{1}{2} m_1 + \frac{1}{2} m_2 + \frac{1}{4} M \right) (a t)^2 \] 12. Вычислим \( v \) в момент времени \( t \): * \( v = a t = 0.239 \text{ м/с}^2 \cdot 2.59 \text{ с} \approx 0.619 \text{ м/с} \) 13. Вычислим кинетическую энергию \( E_k \): * \( E_k = \left( \frac{1}{2} \cdot 0.1 \text{ кг} + \frac{1}{2} \cdot 0.11 \text{ кг} + \frac{1}{4} \cdot 0.4 \text{ кг} \right) (0.619 \text{ м/с})^2 \) * \( E_k = (0.05 \text{ кг} + 0.055 \text{ кг} + 0.1 \text{ кг}) \cdot (0.619)^2 \text{ м}^2/\text{с}^2 \) * \( E_k = (0.205 \text{ кг}) \cdot 0.383 \text{ м}^2/\text{с}^2 \) * \( E_k \approx 0.0785 \) Дж Ответ: Время \( t \), за которое груз \( m_2 \) пройдет расстояние \( S \): \[ t \approx 2.59 \text{ с} \] Кинетическая энергия системы в момент времени \( t \): \[ E_k \approx 0.0785 \text{ Дж} \]