Свойства степенной функции y = x^(2n): Решение

Степенная функция \(y = x^{2n}\), где \(n\) - натуральное число, обладает следующими свойствами: Укажите истинные утверждения. Рассмотрим свойства функции \(y = x^{2n}\), где \(n \in \mathbb{N}\) (натуральное число). Это означает, что показатель степени \(2n\) всегда является четным положительным целым числом (например, \(x^2, x^4, x^6, \dots\)). 1. Функция чётная. Определение четной функции: \(f(-x) = f(x)\). Для \(y = x^{2n}\): \(f(-x) = (-x)^{2n} = ((-x)^2)^n = (x^2)^n = x^{2n} = f(x)\). Следовательно, функция является чётной. Это утверждение истинно. 2. Функция ограничена сверху. График функции \(y = x^{2n}\) (например, парабола \(y = x^2\)) имеет ветви, направленные вверх, и значения функции могут быть сколь угодно большими при увеличении \(|x|\). Она не имеет верхней границы. Это утверждение ложно. 3. Область определения - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\). Для любой степенной функции с целым положительным показателем степени, область определения - все действительные числа. Нет никаких ограничений на \(x\). Это утверждение истинно. 4. Функция принимает наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\). Поскольку \(2n\) - четное положительное число, \(x^{2n}\) всегда будет неотрицательным. Минимальное значение \(x^{2n}\) достигается при \(x=0\), и оно равно \(0^{2n} = 0\). Это утверждение истинно. 5. Функция является убывающей на промежутке \(x \le 0\) и возрастающей на промежутке \(x \ge 0\). Рассмотрим, например, \(y = x^2\). На промежутке \((-\infty, 0]\) (то есть \(x \le 0\)), если мы берем \(x_1 < x_2 \le 0\), то \(x_1^2 > x_2^2\). Например, \((-2)^2 = 4\), \((-1)^2 = 1\). Функция убывает. На промежутке \([0, \infty)\) (то есть \(x \ge 0\)), если мы берем \(0 \le x_1 < x_2\), то \(x_1^2 < x_2^2\). Например, \(1^2 = 1\), \(2^2 = 4\). Функция возрастает. Это утверждение истинно. 6. Множество значений - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\). Как было сказано в пункте 4, наименьшее значение функции равно 0. Все значения функции \(y = x^{2n}\) неотрицательны, то есть \(y \ge 0\). Множество значений - \([0, \infty)\). Это утверждение ложно. Истинные утверждения: * Функция чётная * Область определения - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\) * Функция принимает наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\) * Функция является убывающей на промежутке \(x \le 0\) и возрастающей на промежутке \(x \ge 0\) Ответ: Функция чётная Область определения - все действительные числа, то есть множество \(\mathbb{R}\) Функция принимает наименьшее значение \(y = 0\) при \(x = 0\) Функция является убывающей на промежутке \(x \le 0\) и возрастающей на промежутке \(x \ge 0\)