Задача:
Даны два единичных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), угол между которыми \(120^\circ\). Найти:
а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\);
б) проекцию вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\).
Дано:
- Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) единичные, то есть \(|\vec{m}| = 1\) и \(|\vec{n}| = 1\).
- Угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) равен \(120^\circ\).
- Векторы, на которых построен параллелограмм: \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\) и \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\).
Найти:
- а) Острый угол \(\varphi\) между диагоналями параллелограмма.
- б) Проекцию \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b}\).
Решение:
Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{m} \cdot \vec{n}\):
\[\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\]а) Острый угол между диагоналями параллелограмма.
Диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), равны \(\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}\).
Найдем векторы диагоналей:
\[\vec{d_1} = (-2\vec{m} + \vec{n}) + (\vec{m} + 2\vec{n}) = -2\vec{m} + \vec{m} + \vec{n} + 2\vec{n} = -\vec{m} + 3\vec{n}\] \[\vec{d_2} = (-2\vec{m} + \vec{n}) - (\vec{m} + 2\vec{n}) = -2\vec{m} - \vec{m} + \vec{n} - 2\vec{n} = -3\vec{m} - \vec{n}\]Найдем длины диагоналей:
\[|\vec{d_1}|^2 = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-\vec{m} + 3\vec{n}) = (-\vec{m})^2 + 2(-\vec{m})(3\vec{n}) + (3\vec{n})^2\] \[= |\vec{m}|^2 - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 = 1^2 - 6\left(-\frac{1}{2}\right) + 9 \cdot 1^2 = 1 + 3 + 9 = 13\] \[|\vec{d_1}| = \sqrt{13}\] \[|\vec{d_2}|^2 = (-3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \vec{n}) = (-3\vec{m})^2 + 2(-3\vec{m})(-\vec{n}) + (-\vec{n})^2\] \[= 9|\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 9 \cdot 1^2 + 6\left(-\frac{1}{2}\right) + 1^2 = 9 - 3 + 1 = 7\] \[|\vec{d_2}| = \sqrt{7}\]Найдем скалярное произведение диагоналей:
\[\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = (-\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (-3\vec{m} - \vec{n})\] \[= (-\vec{m})(-3\vec{m}) + (-\vec{m})(-\vec{n}) + (3\vec{n})(-3\vec{m}) + (3\vec{n})(-\vec{n})\] \[= 3|\vec{m}|^2 + \vec{m} \cdot \vec{n} - 9(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2\] \[= 3 \cdot 1^2 - 8(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 1^2 = 3 - 8\left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = 3 + 4 - 3 = 4\]Косинус угла \(\varphi\) между диагоналями находится по формуле:
\[\cos \varphi = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}|}\]Мы берем модуль скалярного произведения, чтобы найти острый угол.
\[\cos \varphi = \frac{|4|}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{91}}\]Острый угол \(\varphi\) равен:
\[\varphi = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\]б) Проекция вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\).
Формула для проекции вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\) (или на вектор \(\vec{a}\)):
\[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}\]Сначала найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n})\] \[= (-2\vec{m})(\vec{m}) + (-2\vec{m})(2\vec{n}) + (\vec{n})(\vec{m}) + (\vec{n})(2\vec{n})\] \[= -2|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + \vec{m} \cdot \vec{n} + 2|\vec{n}|^2\] \[= -2|\vec{m}|^2 - 3(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 2|\vec{n}|^2\] \[= -2 \cdot 1^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \cdot 1^2 = -2 + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2}\]Теперь найдем длину вектора \(\vec{a}\):
\[|\vec{a}|^2 = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (-2\vec{m} + \vec{n}) = (-2\vec{m})^2 + 2(-2\vec{m})(\vec{n}) + (\vec{n})^2\] \[= 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 1^2 = 4 + 2 + 1 = 7\] \[|\vec{a}| = \sqrt{7}\]Теперь найдем проекцию:
\[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}\]Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\):
\[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{3\sqrt{7}}{2 \cdot 7} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\]Ответы:
а) Острый угол между диагоналями: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\).
б) Проекция вектора \(\vec{b}\) на направление вектора \(\vec{a}\): \(\frac{3\sqrt{7}}{14}\).
Среди предложенных вариантов ответа в задании есть \(\arccos\sqrt{3/7}, \sqrt{7}\). Это, вероятно, относится к части "а" и "б" соответственно, но в несколько ином виде. Давайте проверим, соответствует ли наш ответ \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\) одному из предложенных вариантов, если они записаны в другом формате.
Наш ответ для угла: \(\arccos\left(\frac{4}{\sqrt{91}}\right)\). Один из вариантов: \(\arccos\sqrt{3/7}\). \(\sqrt{3/7} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}\). \(\frac{4}{\sqrt{91}} = \frac{4\sqrt{91}}{91}\). Эти значения не совпадают.
Возможно, в задании подразумевается, что нужно выбрать один из предложенных вариантов, и один из них является правильным. Давайте перепроверим расчеты.
Перепроверим расчеты для части а):
\[\vec{d_1} = -\vec{m} + 3\vec{n}\] \[\vec{d_2} = -3\vec{m} - \vec{n}\] \[|\vec{d_1}|^2 = 13 \Rightarrow |\vec{d_1}| = \sqrt{13}\] \[|\vec{d_2}|^2 = 7 \Rightarrow |\vec{d_2}| = \sqrt{7}\] \[\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 4\] \[\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{13}\sqrt{7}} = \frac{4}{\sqrt{91}}\]Расчеты верны.
Перепроверим расчеты для части б):
\[\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\] \[\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\] \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}\] \[|\vec{a}| = \sqrt{7}\] \[\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{3/2}{\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\]Расчеты верны.
Теперь посмотрим на предложенные варианты ответа в задании:
- \(\arccos\sqrt{3/5}, \sqrt{5}\)
- \(\arccos\sqrt{3/11}, \sqrt{11}\)
- \(\arccos\sqrt{3/8}, \sqrt{8}\)
- \(\arccos\sqrt{3/7}, \sqrt{7}\)
Ни один из наших ответов точно не совпадает с предложенными вариантами. Возможно, в условии задачи или в вариантах ответа есть опечатка, или я неправильно интерпретировал, что именно нужно найти в части "а" и "б" из предложенных вариантов. Обычно, если даны два числа через запятую, первое относится к первой части, второе ко второй.
Давайте предположим, что в вариантах ответа для части "а" дано значение косинуса угла, а для части "б" - значение проекции. Наш ответ для части "а": \(\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{91}}\). Наш ответ для части "б": \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\).
Рассмотрим вариант \(\arccos\sqrt{3/7}, \sqrt{7}\).
Если \(\cos \varphi = \sqrt{3/7}\), то \(\cos^2 \varphi = 3/7\). В нашем случае \(\cos \varphi = \frac{4}{\sqrt{91}}\), то \(\cos^2 \varphi = \frac{16}{91}\). \(\frac{3}{7} \approx 0.428\). \(\frac{16}{91} \approx 0.175\). Значения не совпадают.
Если проекция \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \sqrt{7}\). В нашем случае \(\text{пр}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{3\sqrt{7}}{14}\). \(\frac{3\sqrt{7}}{14} \approx \frac{3 \cdot 2.645}{14} \approx \frac{7.935}{14} \approx 0.566\). \(\sqrt{7} \approx 2.645\). Значения не совпадают.
Возможно, я неправильно понял, что такое "острый угол между диагоналями". Если диагонали \(\vec{d_1}\) и \(\vec{d_2}\), то угол между ними \(\varphi\) определяется как \(\cos \varphi = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|}\). Если этот угол тупой, то острый угол будет \(\pi - \varphi\), и его косинус будет \(- \cos \varphi\). Но мы уже взяли модуль скалярного произведения, что дает острый угол.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на условие и варианты. В вариантах ответа для части "а" дано \(\arccos\sqrt{X}\), а для части "б" - \(\sqrt{Y}\).
Предположим, что в задании есть ошибка, и один из вариантов все же является правильным. Давайте проверим, может быть, я ошибся в вычислениях. \(\vec{m} \cdot \vec{n} = -1/2\). \(\vec{a} = -2\vec{m} + \vec{n}\) \(\vec{b} = \vec{m} + 2\vec{n}\)
Длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\[|\vec{a}|^2 = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (-2\vec{m} + \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 4(1) - 4(-1/2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7\] \[|\vec{a}| = \sqrt{7}\] \[|\vec{b}|^2 = (\vec{m} + 2\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 4|\vec{n}|^2 = 1 + 4(-1/2) + 4(1) = 1 - 2 + 4 = 3\] \[|\vec{b}| = \sqrt{3}\]Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\):
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = -2|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{m}) + 2|\vec{n}|^2\] \[= -