Задача 5
Условие: Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю \(6\sqrt{2}/\pi^2\). Найдите объем цилиндра.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. В данном случае это квадрат.
2. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда диагональ квадрата \(d\) связана со стороной формулой \(d = a\sqrt{2}\).
3. По условию, диагональ квадрата равна \(6\sqrt{2}/\pi^2\).
Значит, \(a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}/\pi^2\).
4. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):
\(a = 6/\pi^2\).
5. В осевом сечении цилиндра, которое является квадратом, сторона квадрата \(a\) равна высоте цилиндра \(H\) и диаметру основания цилиндра \(2R\).
Значит, \(H = a = 6/\pi^2\).
И \(2R = a = 6/\pi^2\), откуда радиус основания \(R = a/2 = (6/\pi^2)/2 = 3/\pi^2\).
6. Объем цилиндра \(V\) вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 H\).
7. Подставим найденные значения \(R\) и \(H\) в формулу объема:
\(V = \pi \cdot (3/\pi^2)^2 \cdot (6/\pi^2)\)
\(V = \pi \cdot (9/\pi^4) \cdot (6/\pi^2)\)
\(V = (54\pi) / (\pi^4 \cdot \pi^2)\)
\(V = (54\pi) / \pi^6\)
\(V = 54 / \pi^5\)
Ответ: Объем цилиндра равен \(54/\pi^5\).
Задача 7
Условие: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны \(7/\pi\). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение:
1. Цилиндр описан около призмы. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра.
2. Высота цилиндра \(H\) равна длине бокового ребра призмы.
По условию, боковые ребра равны \(7/\pi\).
Значит, \(H = 7/\pi\).
3. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8.
Если цилиндр описан около призмы, то окружность основания цилиндра описана около прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы.
4. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.
Найдем гипотенузу \(c\) прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
\(c^2 = 6^2 + 8^2\)
\(c^2 = 36 + 64\)
\(c^2 = 100\)
\(c = \sqrt{100}\)
\(c = 10\)
5. Радиус основания цилиндра \(R\) равен половине гипотенузы:
\(R = c/2 = 10/2 = 5\).
6. Объем цилиндра \(V\) вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 H\).
7. Подставим найденные значения \(R\) и \(H\) в формулу объема:
\(V = \pi \cdot 5^2 \cdot (7/\pi)\)
\(V = \pi \cdot 25 \cdot (7/\pi)\)
\(V = 25 \cdot 7\)
\(V = 175\)
Ответ: Объем цилиндра, описанного около этой призмы, равен 175.