Условие задания:
Даны координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Определи координаты векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), если
\(\vec{u} = 3\vec{a} - 2\vec{b}\) и \(\vec{v} = 2\vec{a} + \vec{b}\).
Даны координаты векторов:
\(\vec{a} \{-9; 4\}\)
\(\vec{b} \{5; -6\}\)
Решение:
Для того чтобы найти координаты векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), мы будем использовать правила умножения вектора на число и сложения (вычитания) векторов.
Пусть вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a_x; a_y)\) и вектор \(\vec{b}\) имеет координаты \((b_x; b_y)\).
Тогда:
1. Умножение вектора на число \(k\): \(k\vec{a} = \{k \cdot a_x; k \cdot a_y\}\).
2. Сложение (вычитание) векторов: \(\vec{a} \pm \vec{b} = \{a_x \pm b_x; a_y \pm b_y\}\).
В нашем случае:
\(\vec{a} = \{-9; 4\}\)
\(\vec{b} = \{5; -6\}\)
Найдем координаты вектора \(\vec{u}\):
Формула для \(\vec{u}\): \(\vec{u} = 3\vec{a} - 2\vec{b}\)
Сначала найдем координаты вектора \(3\vec{a}\):
\(3\vec{a} = 3 \cdot \{-9; 4\} = \{3 \cdot (-9); 3 \cdot 4\} = \{-27; 12\}\)
Теперь найдем координаты вектора \(2\vec{b}\):
\(2\vec{b} = 2 \cdot \{5; -6\} = \{2 \cdot 5; 2 \cdot (-6)\} = \{10; -12\}\)
Теперь вычтем из координат вектора \(3\vec{a}\) координаты вектора \(2\vec{b}\):
\(\vec{u} = \{-27; 12\} - \{10; -12\}\)
\(\vec{u} = \{-27 - 10; 12 - (-12)\}\)
\(\vec{u} = \{-37; 12 + 12\}\)
\(\vec{u} = \{-37; 24\}\)
Найдем координаты вектора \(\vec{v}\):
Формула для \(\vec{v}\): \(\vec{v} = 2\vec{a} + \vec{b}\)
Сначала найдем координаты вектора \(2\vec{a}\):
\(2\vec{a} = 2 \cdot \{-9; 4\} = \{2 \cdot (-9); 2 \cdot 4\} = \{-18; 8\}\)
Теперь сложим координаты вектора \(2\vec{a}\) с координатами вектора \(\vec{b}\):
\(\vec{v} = \{-18; 8\} + \{5; -6\}\)
\(\vec{v} = \{-18 + 5; 8 + (-6)\}\)
\(\vec{v} = \{-13; 8 - 6\}\)
\(\vec{v} = \{-13; 2\}\)
Ответ:
\(\vec{u} \{-37; 24\}\)
\(\vec{v} \{-13; 2\}\)