Условие задания:
Каковы координаты вектора, который разложен на координатные векторы \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) следующим образом:
1. \(\vec{a} = 6 \cdot \vec{i} + 4 \cdot \vec{j}\)
2. \(\vec{b} = 26 \cdot \vec{j} + 7 \cdot \vec{i}\)
3. \(\vec{c} = -10 \cdot \vec{i}\)
Решение:
Векторы \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) являются единичными ортогональными векторами координатных осей. Вектор \(\vec{i}\) направлен вдоль оси \(Ox\) и имеет координаты \(\{1; 0\}\). Вектор \(\vec{j}\) направлен вдоль оси \(Oy\) и имеет координаты \(\{0; 1\}\).
Любой вектор \(\vec{x}\) с координатами \(\{x_1; x_2\}\) может быть представлен в виде разложения по базисным векторам \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) как \(\vec{x} = x_1 \cdot \vec{i} + x_2 \cdot \vec{j}\).
Используя это правило, найдем координаты каждого вектора.
1. Вектор \(\vec{a}\):
Дано: \(\vec{a} = 6 \cdot \vec{i} + 4 \cdot \vec{j}\)
Сравнивая с общим видом \(\vec{x} = x_1 \cdot \vec{i} + x_2 \cdot \vec{j}\), мы видим, что коэффициент при \(\vec{i}\) равен \(x_1\), а коэффициент при \(\vec{j}\) равен \(x_2\).
Здесь \(x_1 = 6\) и \(x_2 = 4\).
Следовательно, координаты вектора \(\vec{a}\) будут \(\{6; 4\}\).
\(\vec{a} \{6; 4\}\)
2. Вектор \(\vec{b}\):
Дано: \(\vec{b} = 26 \cdot \vec{j} + 7 \cdot \vec{i}\)
Обратите внимание, что порядок слагаемых изменен. Для удобства перепишем выражение в стандартном виде: сначала слагаемое с \(\vec{i}\), затем с \(\vec{j}\).
\(\vec{b} = 7 \cdot \vec{i} + 26 \cdot \vec{j}\)
Теперь сравниваем с общим видом \(\vec{x} = x_1 \cdot \vec{i} + x_2 \cdot \vec{j}\).
Здесь \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 26\).
Следовательно, координаты вектора \(\vec{b}\) будут \(\{7; 26\}\).
\(\vec{b} \{7; 26\}\)
3. Вектор \(\vec{c}\):
Дано: \(\vec{c} = -10 \cdot \vec{i}\)
В этом выражении отсутствует слагаемое с \(\vec{j}\). Это означает, что коэффициент при \(\vec{j}\) равен нулю. Мы можем записать это как:
\(\vec{c} = -10 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j}\)
Сравниваем с общим видом \(\vec{x} = x_1 \cdot \vec{i} + x_2 \cdot \vec{j}\).
Здесь \(x_1 = -10\) и \(x_2 = 0\).
Следовательно, координаты вектора \(\vec{c}\) будут \(\{-10; 0\}\).
\(\vec{c} \{-10; 0\}\)
Ответ:
1. \(\vec{a} \{6; 4\}\)
2. \(\vec{b} \{7; 26\}\)
3. \(\vec{c} \{-10; 0\}\)