Условие задания:
Даны точки \(V(1; 0)\) и \(N(-8; 4)\). Найди координаты вектора \(\vec{VN}\) и вектора \(\vec{NV}\).
Каковы эти векторы? Выбери правильные варианты ответа.
Решение:
Для того чтобы найти координаты вектора, заданного двумя точками, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.
Пусть даны точки \(A(x_A; y_A)\) и \(B(x_B; y_B)\).
Тогда координаты вектора \(\vec{AB}\) будут \(\{x_B - x_A; y_B - y_A\}\).
В нашем случае даны точки:
\(V(1; 0)\)
\(N(-8; 4)\)
1. Найдем координаты вектора \(\vec{VN}\):
Начало вектора – точка \(V(1; 0)\), конец вектора – точка \(N(-8; 4)\).
Координаты вектора \(\vec{VN}\) будут:
\(\vec{VN} = \{x_N - x_V; y_N - y_V\}\)
\(\vec{VN} = \{-8 - 1; 4 - 0\}\)
\(\vec{VN} = \{-9; 4\}\)
2. Найдем координаты вектора \(\vec{NV}\):
Начало вектора – точка \(N(-8; 4)\), конец вектора – точка \(V(1; 0)\).
Координаты вектора \(\vec{NV}\) будут:
\(\vec{NV} = \{x_V - x_N; y_V - y_N\}\)
\(\vec{NV} = \{1 - (-8); 0 - 4\}\)
\(\vec{NV} = \{1 + 8; -4\}\)
\(\vec{NV} = \{9; -4\}\)
Теперь определим, каковы эти векторы \(\vec{VN}\) и \(\vec{NV}\):
Мы получили:
\(\vec{VN} = \{-9; 4\}\)
\(\vec{NV} = \{9; -4\}\)
Сравним их координаты. Координаты вектора \(\vec{NV}\) являются противоположными координатам вектора \(\vec{VN}\) (то есть, каждая координата умножена на -1).
Это означает, что векторы \(\vec{VN}\) и \(\vec{NV}\) являются противоположными.
Что это значит для их длины и направления?
Длина вектора: Длина вектора \(\vec{a} \{x; y\}\) вычисляется по формуле \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Длина \(\vec{VN}\): \(|\vec{VN}| = \sqrt{(-9)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}\)
Длина \(\vec{NV}\): \(|\vec{NV}| = \sqrt{9^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97}\)
Длины векторов равны. Значит, они равной длины.
Направление векторов: Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Они лежат на одной прямой, но смотрят в разные стороны.
Следовательно, они не сонаправленные и не равные (равные векторы имеют одинаковые координаты).
Выбираем правильные варианты ответа:
☑ Равной длины
☐ Сонаправленные
☑ Противоположные
☐ Равные
Ответ:
\(\vec{VN} \{-9; 4\}\)
\(\vec{NV} \{9; -4\}\)
Эти векторы: Равной длины, Противоположные.