Условие задания:
В системе координат даны координатные векторы \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) и векторы \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{g}, \vec{h}\) и \(\vec{k}\).
Определи следующее.
1. У каких векторов обе координаты равны, то есть \(x = y\)?
2. У каких векторов координата \(x = 0\)?
3. У каких векторов координата \(y = 0\)?
4. У каких векторов обе координаты положительные?
5. У каких векторов обе координаты отрицательные?
Решение:
Сначала определим координаты каждого вектора по рисунку. Для этого нужно найти начальную и конечную точки каждого вектора и вычесть координаты начала из координат конца. Если вектор начинается в начале координат (точке \(O(0;0)\)), то его координаты совпадают с координатами его конечной точки.
Координаты векторов:
- \(\vec{a}\): Начало \(O(0;0)\), конец \((3; 4)\). Значит, \(\vec{a} \{3; 4\}\).
- \(\vec{b}\): Начало \((1; 1)\), конец \((4; 2)\). Значит, \(\vec{b} \{4-1; 2-1\} = \{3; 1\}\).
- \(\vec{c}\): Начало \(O(0;0)\), конец \((1; -3)\). Значит, \(\vec{c} \{1; -3\}\).
- \(\vec{d}\): Начало \(O(0;0)\), конец \((-2; 0)\). Значит, \(\vec{d} \{-2; 0\}\).
- \(\vec{e}\): Начало \((0; -1)\), конец \((0; -3)\). Значит, \(\vec{e} \{0-0; -3-(-1)\} = \{0; -2\}\).
- \(\vec{f}\): Начало \((4; 0)\), конец \((4; -3)\). Значит, \(\vec{f} \{4-4; -3-0\} = \{0; -3\}\).
- \(\vec{g}\): Начало \((-4; 2)\), конец \((0; 2)\). Значит, \(\vec{g} \{0-(-4); 2-2\} = \{4; 0\}\).
- \(\vec{h}\): Начало \((-4; 1)\), конец \((-1; 0)\). Значит, \(\vec{h} \{-1-(-4); 0-1\} = \{3; -1\}\).
- \(\vec{k}\): Начало \((-4; -2)\), конец \((-1; -3)\). Значит, \(\vec{k} \{-1-(-4); -3-(-2)\} = \{3; -1\}\).
Отвечаем на вопросы:
1. У каких векторов обе координаты равны, то есть \(x = y\)?
- \(\vec{a} \{3; 4\}\) - нет (\(3 \neq 4\))
- \(\vec{b} \{3; 1\}\) - нет (\(3 \neq 1\))
- \(\vec{c} \{1; -3\}\) - нет (\(1 \neq -3\))
- \(\vec{d} \{-2; 0\}\) - нет (\(-2 \neq 0\))
- \(\vec{e} \{0; -2\}\) - нет (\(0 \neq -2\))
- \(\vec{f} \{0; -3\}\) - нет (\(0 \neq -3\))
- \(\vec{g} \{4; 0\}\) - нет (\(4 \neq 0\))
- \(\vec{h} \{3; -1\}\) - нет (\(3 \neq -1\))
- \(\vec{k} \{3; -1\}\) - нет (\(3 \neq -1\))
Ответ на 1 вопрос: Таких векторов нет.
2. У каких векторов координата \(x = 0\)?
- \(\vec{a} \{3; 4\}\) - нет
- \(\vec{b} \{3; 1\}\) - нет
- \(\vec{c} \{1; -3\}\) - нет
- \(\vec{d} \{-2; 0\}\) - нет
- \(\vec{e} \{0; -2\}\) - да (\(x=0\))
- \(\vec{f} \{0; -3\}\) - да (\(x=0\))
- \(\vec{g} \{4; 0\}\) - нет
- \(\vec{h} \{3; -1\}\) - нет
- \(\vec{k} \{3; -1\}\) - нет
Ответ на 2 вопрос: \(\vec{e}\), \(\vec{f}\).
3. У каких векторов координата \(y = 0\)?
- \(\vec{a} \{3; 4\}\) - нет
- \(\vec{b} \{3; 1\}\) - нет
- \(\vec{c} \{1; -3\}\) - нет
- \(\vec{d} \{-2; 0\}\) - да (\(y=0\))
- \(\vec{e} \{0; -2\}\) - нет
- \(\vec{f} \{0; -3\}\) - нет
- \(\vec{g} \{4; 0\}\) - да (\(y=0\))
- \(\vec{h} \{3; -1\}\) - нет
- \(\vec{k} \{3; -1\}\) - нет
Ответ на 3 вопрос: \(\vec{d}\), \(\vec{g}\).
4. У каких векторов обе координаты положительные?
- \(\vec{a} \{3; 4\}\) - да (\(3 > 0, 4 > 0\))
- \(\vec{b} \{3; 1\}\) - да (\(3 > 0, 1 > 0\))
- \(\vec{c} \{1; -3\}\) - нет (y отрицательная)
- \(\vec{d} \{-2; 0\}\) - нет (x отрицательная, y равна 0)
- \(\vec{e} \{0; -2\}\) - нет (x равна 0, y отрицательная)
- \(\vec{f} \{0; -3\}\) - нет (x равна 0, y отрицательная)
- \(\vec{g} \{4; 0\}\) - нет (y равна 0)
- \(\vec{h} \{3; -1\}\) - нет (y отрицательная)
- \(\vec{k} \{3; -1\}\) - нет (y отрицательная)
Ответ на 4 вопрос: \(\vec{a}\), \(\vec{b}\).
5. У каких векторов обе координаты отрицательные?
- \(\vec{a} \{3; 4\}\) - нет
- \(\vec{b} \{3; 1\}\) - нет
- \(\vec{c} \{1; -3\}\) - нет (x положительная)
- \(\vec{d} \{-2; 0\}\) - нет (y равна 0)
- \(\vec{e} \{0; -2\}\) - нет (x равна 0)
- \(\vec{f} \{0; -3\}\) - нет (x равна 0)
- \(\vec{g} \{4; 0\}\) - нет
- \(\vec{h} \{3; -1\}\) - нет (x положительная)
- \(\vec{k} \{3; -1\}\) - нет (x положительная)
Ответ на 5 вопрос: Таких векторов нет.