Решение задачи A58*: Движение груза по доске

Задача А58* Груз массы \( m \) лежит на доске массы \( M \). Коэффициент трения между доской и грузом равен \( k \), а между доской и горизонтальной плоскостью, на которой покоилась доска – пренебрежимо мал. По доске наносят горизонтальный удар, и она начинает двигаться с начальной скоростью \( V_0 \). Определить промежуток времени, спустя который прекратится скольжение груза по доске. Решение: 1. Обозначим скорости: * Скорость доски \( V \) * Скорость груза \( v \) 2. Силы, действующие на груз \( m \): * Сила тяжести \( mg \) (вниз) * Нормальная сила реакции опоры \( N_m = mg \) (вверх) * Сила трения \( F_{тр,m} \). Поскольку доска движется быстрее груза (или груз покоится относительно земли, а доска движется), доска "убегает" из-под груза. Значит, сила трения, действующая на груз со стороны доски, направлена в сторону движения доски. * \( F_{тр,m} = k N_m = k mg \) 3. Силы, действующие на доску \( M \): * Сила тяжести \( Mg \) (вниз) * Нормальная сила реакции опоры \( N_M \) со стороны поверхности (вверх) * Сила реакции со стороны груза \( N'_m = mg \) (вниз) * Сила трения \( F_{тр,M} \). По третьему закону Ньютона, сила трения, действующая на доску со стороны груза, равна по модулю \( F_{тр,m} \) и направлена в противоположную сторону, то есть против движения доски. * \( F_{тр,M} = k mg \) * Сила трения между доской и горизонтальной плоскостью пренебрежимо мала, поэтому ее не учитываем. 4. Запишем уравнения движения для груза и доски: * Для груза \( m \): * \( F_{тр,m} = ma \) * \( k mg = ma \) * \( a = kg \) (ускорение груза) * Скорость груза: \( v(t) = v_0' + at \). Так как груз изначально покоился относительно земли, его начальная скорость \( v_0' = 0 \). * \[ v(t) = kg t \] * Для доски \( M \): * \( -F_{тр,M} = MA \) (ускорение доски \( A \) будет отрицательным, так как сила трения направлена против движения) * \( -k mg = MA \) * \( A = -\frac{k mg}{M} \) (ускорение доски) * Скорость доски: \( V(t) = V_0 + At \) * \[ V(t) = V_0 - \frac{k mg}{M} t \] 5. Скольжение прекратится, когда скорости груза и доски станут равными: \( v(t) = V(t) \). * \( kg t = V_0 - \frac{k mg}{M} t \) 6. Решим это уравнение относительно \( t \): * \( kg t + \frac{k mg}{M} t = V_0 \) * \( kgt \left( 1 + \frac{m}{M} \right) = V_0 \) * \( kgt \left( \frac{M+m}{M} \right) = V_0 \) * \[ t = \frac{V_0 M}{kg(M+m)} \] Ответ: Промежуток времени, спустя который прекратится скольжение груза по доске: \[ t = \frac{V_0 M}{kg(M+m)} \]