Задача: Радиус некоторой звезды \(R\) вдвое меньше, чем у Солнца, а температура её поверхности \(T\) вдвое больше солнечной. Во сколько раз светимость \(L\) этой звезды больше светимости \(L_{\odot}\) Солнца? Постоянную Стефана–Больцмана считать равной \(\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)\). Число \(\pi = 3,14\).
Дано:
- Радиус звезды \(R = \frac{1}{2} R_{\odot}\)
- Температура поверхности звезды \(T = 2 T_{\odot}\)
- Постоянная Стефана–Больцмана \(\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)\)
- Число \(\pi = 3,14\)
Найти: Во сколько раз светимость звезды \(L\) больше светимости Солнца \(L_{\odot}\), то есть найти отношение \(\frac{L}{L_{\odot}}\).
Решение:
Светимость звезды (или любого абсолютно чёрного тела) определяется законом Стефана–Больцмана:
\[L = \sigma S T^4\]где \(L\) — светимость, \(\sigma\) — постоянная Стефана–Больцмана, \(S\) — площадь поверхности излучающего тела, \(T\) — абсолютная температура поверхности.
Для звезды, имеющей форму шара, площадь поверхности \(S\) вычисляется по формуле:
\[S = 4 \pi R^2\]где \(R\) — радиус звезды.
Подставим формулу площади поверхности в формулу светимости:
\[L = \sigma (4 \pi R^2) T^4\] \[L = 4 \pi \sigma R^2 T^4\]Запишем формулу светимости для нашей звезды и для Солнца:
Светимость звезды:
\[L = 4 \pi \sigma R^2 T^4\]Светимость Солнца:
\[L_{\odot} = 4 \pi \sigma R_{\odot}^2 T_{\odot}^4\]Теперь найдем отношение светимости звезды к светимости Солнца:
\[\frac{L}{L_{\odot}} = \frac{4 \pi \sigma R^2 T^4}{4 \pi \sigma R_{\odot}^2 T_{\odot}^4}\]Сократим одинаковые множители \(4 \pi \sigma\):
\[\frac{L}{L_{\odot}} = \frac{R^2 T^4}{R_{\odot}^2 T_{\odot}^4}\]Перегруппируем члены:
\[\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^2 \left(\frac{T}{T_{\odot}}\right)^4\]Из условия задачи нам известно, что:
\[R = \frac{1}{2} R_{\odot} \implies \frac{R}{R_{\odot}} = \frac{1}{2}\] \[T = 2 T_{\odot} \implies \frac{T}{T_{\odot}} = 2\]Подставим эти значения в формулу отношения светимостей:
\[\frac{L}{L_{\odot}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(2\right)^4\] \[\frac{L}{L_{\odot}} = \frac{1}{4} \times 16\] \[\frac{L}{L_{\odot}} = \frac{16}{4}\] \[\frac{L}{L_{\odot}} = 4\]Таким образом, светимость этой звезды в 4 раза больше светимости Солнца.
Ответ: В 4 раза