Решение задачи А58: Скольжение груза по доске

Хорошо, давайте решим задачу А58. Задача А58: Груз массы \(m\) лежит на доске массы \(M\). Коэффициент трения между доской и грузом равен \(k\), а между доской и горизонтальной плоскостью, на которой покоилась доска — пренебрежимо мал. По доске наносят горизонтальный удар, и она начинает двигаться с начальной скоростью \(V_0\). Определить промежуток времени, спустя который прекратится скольжение груза по доске. Решение: 1. Запишем, что дано в задаче: * Масса груза: \(m\) * Масса доски: \(M\) * Коэффициент трения между грузом и доской: \(k\) * Начальная скорость доски: \(V_0\) * Коэффициент трения между доской и горизонтальной плоскостью: пренебрежимо мал (то есть, можно считать равным нулю). 2. Нам нужно найти время \(t\), через которое скольжение груза по доске прекратится. Это произойдет, когда скорости груза и доски станут равными. 3. Рассмотрим силы, действующие на груз и доску. * На груз \(m\) действует сила трения со стороны доски. Эта сила направлена в сторону движения доски (если груз отстает от доски) и вызывает ускорение груза. * На доску \(M\) действует сила трения со стороны груза. Эта сила направлена против движения доски и вызывает замедление доски. 4. Определим силы трения. * Нормальная сила реакции опоры, действующая на груз, равна \(N_m = mg\). * Сила трения, действующая на груз: \(F_{тр,m} = k N_m = k mg\). * Нормальная сила реакции опоры, действующая на доску со стороны груза, также равна \(mg\). * Сила трения, действующая на доску со стороны груза: \(F_{тр,M} = k mg\). 5. Запишем уравнения движения для груза и доски, используя второй закон Ньютона. * Для груза \(m\): \(m a_m = F_{тр,m}\) \(m a_m = k mg\) Отсюда ускорение груза: \(a_m = k g\) Поскольку груз начинает двигаться из состояния покоя (относительно земли), его скорость в любой момент времени \(t\) будет: \(V_m(t) = a_m t = k g t\) * Для доски \(M\): \(M a_M = -F_{тр,M}\) (знак минус, потому что сила трения замедляет доску) \(M a_M = -k mg\) Отсюда ускорение доски: \(a_M = -\frac{k mg}{M}\) Скорость доски в любой момент времени \(t\) будет: \(V_M(t) = V_0 + a_M t = V_0 - \frac{k mg}{M} t\) 6. Скольжение прекратится, когда скорости груза и доски станут равными: \(V_m(t) = V_M(t)\). \(k g t = V_0 - \frac{k mg}{M} t\) 7. Теперь решим это уравнение относительно \(t\): Перенесем все члены с \(t\) в левую часть: \(k g t + \frac{k mg}{M} t = V_0\) Вынесем \(k g t\) за скобки: \(k g t \left(1 + \frac{m}{M}\right) = V_0\) Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \(k g t \left(\frac{M + m}{M}\right) = V_0\) Выразим \(t\): \(t = \frac{V_0 M}{k g (M + m)}\) 8. Проверим единицы измерения: \(V_0\) - м/с \(M\) - кг \(k\) - безразмерная \(g\) - м/с\(^2\) \(M+m\) - кг \(t = \frac{\text{м/с} \cdot \text{кг}}{\text{м/с}^2 \cdot \text{кг}} = \frac{\text{м/с}}{\text{м/с}^2} = \text{с}\) Единицы измерения сходятся, что подтверждает правильность формулы. Ответ: Промежуток времени, спустя который прекратится скольжение груза по доске, равен: \[t = \frac{V_0 M}{k g (M + m)}\]