Задача: Масса и радиус Спики (\(\alpha\) Девы) равны соответственно \(m = 10 \cdot m_{\odot}\) и \(R = 7 \cdot R_{\odot}\), где \(m_{\odot}\) и \(R_{\odot}\) — масса и радиус Солнца соответственно. Определите отношение плотности вещества Солнца (\(\rho_{\odot}\)) и Спики (\(\rho\)). Ответ выразить целым числом. Звёзды считать идеальными однородными шарами.
Дано:
- Масса Спики \(m = 10 \cdot m_{\odot}\)
- Радиус Спики \(R = 7 \cdot R_{\odot}\)
Найти: Отношение плотности Солнца к плотности Спики, то есть \(\frac{\rho_{\odot}}{\rho}\).
Решение:
Плотность вещества (\(\rho\)) определяется как отношение массы тела (\(m\)) к его объёму (\(V\)):
\[\rho = \frac{m}{V}\]Поскольку звёзды считаются идеальными однородными шарами, их объём можно вычислить по формуле объёма шара:
\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]где \(R\) — радиус шара.
Теперь запишем формулы для плотности Солнца и Спики:
Для Солнца:
Масса Солнца: \(m_{\odot}\)
Радиус Солнца: \(R_{\odot}\)
Объём Солнца: \(V_{\odot} = \frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3\)
Плотность Солнца:
\[\rho_{\odot} = \frac{m_{\odot}}{V_{\odot}} = \frac{m_{\odot}}{\frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3}\]Для Спики:
Масса Спики: \(m = 10 \cdot m_{\odot}\)
Радиус Спики: \(R = 7 \cdot R_{\odot}\)
Объём Спики: \(V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (7 R_{\odot})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 7^3 \cdot R_{\odot}^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 343 \cdot R_{\odot}^3\)
Плотность Спики:
\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{10 \cdot m_{\odot}}{\frac{4}{3} \pi \cdot 343 \cdot R_{\odot}^3}\]Теперь найдем отношение плотности Солнца к плотности Спики:
\[\frac{\rho_{\odot}}{\rho} = \frac{\frac{m_{\odot}}{\frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3}}{\frac{10 \cdot m_{\odot}}{\frac{4}{3} \pi \cdot 343 \cdot R_{\odot}^3}}\]Для упрощения дроби, перевернем знаменатель и умножим:
\[\frac{\rho_{\odot}}{\rho} = \frac{m_{\odot}}{\frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3} \cdot \frac{\frac{4}{3} \pi \cdot 343 \cdot R_{\odot}^3}{10 \cdot m_{\odot}}\]Сократим одинаковые множители (\(m_{\odot}\) и \(\frac{4}{3} \pi R_{\odot}^3\)):
\[\frac{\rho_{\odot}}{\rho} = \frac{343}{10}\]Вычислим значение:
\[\frac{\rho_{\odot}}{\rho} = 34,3\]По условию задачи, ответ нужно выразить целым числом. Округляем 34,3 до ближайшего целого числа.
Ответ: 34