Задача: Звёздное скопление, находящееся на расстоянии \(D = 1\) кпк, состоит из \(N = 1500\) звёзд, каждая из которых имеет нулевую абсолютную величину (\(M_0 = 0^m\)). Определить блеск скопления \(m\). Ответ округлить до целых.
Дано:
- Расстояние до скопления \(D = 1\) кпк
- Количество звёзд в скоплении \(N = 1500\)
- Абсолютная звёздная величина каждой звезды \(M_0 = 0^m\)
Найти:
- Видимая звёздная величина скопления \(m\).
Решение:
Сначала переведём расстояние \(D\) из килопарсеков в парсеки:
\[D = 1 \text{ кпк} = 1 \cdot 1000 \text{ пк} = 1000 \text{ пк}\]Для каждой отдельной звезды с абсолютной звёздной величиной \(M_0 = 0^m\) и находящейся на расстоянии \(D = 1000\) пк, найдём её видимую звёздную величину \(m_0\). Используем формулу:
\[m_0 - M_0 = 5 \cdot \log_{10}(D) - 5\]Подставим значения:
\[m_0 - 0 = 5 \cdot \log_{10}(1000) - 5\] \[m_0 = 5 \cdot 3 - 5\] \[m_0 = 15 - 5\] \[m_0 = 10^m\]Таким образом, каждая звезда в скоплении имеет видимую звёздную величину \(m_0 = 10^m\).
Теперь нам нужно найти общую видимую звёздную величину скопления. Звёздные величины не складываются напрямую. Вместо этого складываются их светимости. Отношение светимостей двух объектов с звёздными величинами \(m_1\) и \(m_2\) выражается формулой:
\[\frac{L_1}{L_2} = 10^{0.4 \cdot (m_2 - m_1)}\]Или, если мы хотим найти светимость \(L\) по звёздной величине \(m\), можно сказать, что светимость пропорциональна \(10^{-0.4m}\).
\[L \propto 10^{-0.4m}\]Светимость всего скопления \(L_{\text{скопления}}\) будет суммой светимостей всех звёзд:
\[L_{\text{скопления}} = N \cdot L_0\]где \(L_0\) — светимость одной звезды.
Пусть \(m\) — видимая звёздная величина скопления, а \(m_0\) — видимая звёздная величина одной звезды. Тогда:
\[10^{-0.4m} = N \cdot 10^{-0.4m_0}\] \[10^{-0.4m} = 1500 \cdot 10^{-0.4 \cdot 10}\] \[10^{-0.4m} = 1500 \cdot 10^{-4}\] \[10^{-0.4m} = 1500 \cdot 0.0001\] \[10^{-0.4m} = 0.15\]Чтобы найти \(m\), возьмём десятичный логарифм от обеих частей уравнения:
\[-0.4m = \log_{10}(0.15)\] \[-0.4m \approx -0.8239\]Разделим на -0.4:
\[m = \frac{-0.8239}{-0.4}\] \[m \approx 2.05975\]Округлим полученное значение до целых. Поскольку первая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону:
\[m \approx 2^m\]Ответ:
Блеск скопления составляет 2^m.